������ 1 . �� ������ �������������� ������� ��������� ������ ��������� � X �� Y � � Y �� X . ����� ��������������� ������������ ��������� � ����������� ���������� ����� X � Y .
y/x | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
100 | 2 | 2 | ||||
120 | 4 | 3 | 10 | 3 | ||
140 | 2 | 50 | 7 | 10 | ||
160 | 1 | 4 | 3 | |||
180 | 1 | 1 |
�������:
��������� �������� ��������� � y �� x ����� ������ �� �������
� ��������� ��������� � x �� y, ����������� �������:
��� x x , y — ���������� ������� ������� x � y, ?x, ?y — ���������� �������������������� ����������.
������� ���������� �������:
x = (15(1 + 1) + 20(2 + 4 + 1) + 25(4 + 50) + 30(3 + 7 + 3) + 35(2 + 10 + 10) + 40(2 + 3))/103 = 27.961
y = (100(2 + 2) + 120(4 + 3 + 10 + 3) + 140(2 + 50 + 7 + 10) + 160(1 + 4 + 3) + 180(1 + 1))/103 = 136.893
���������� ���������:
? 2 x = (15 2 (1 + 1) + 20 2 (2 + 4 + 1) + 25 2 (4 + 50) + 30 2 (3 + 7 + 3) + 35 2 (2 + 10 + 10) + 40 2 (2 + 3))/103 — 27.961 2 = 30.31
? 2 y = (100 2 (2 + 2) + 120 2 (4 + 3 + 10 + 3) + 140 2 (2 + 50 + 7 + 10) + 160 2 (1 + 4 + 3) + 180 2 (1 + 1))/103 — 136.893 2 = 192.29
������ �������� �������������������� ����������:
�
��������� ����������� ����������:
��� ���������� �����:
Cov(x,y) = (35�100�2 + 40�100�2 + 25�120�4 + 30�120�3 + 35�120�10 + 40�120�3 + 20�140�2 + 25�140�50 + 30�140�7 + 35�140�10 + 15�160�1 + 20�160�4 + 30�160�3 + 15�180�1 + 20�180�1)/103 — 27.961 � 136.893 = -50.02
������� ��������� ����� ��������� y(x):
� ��������� x(y):
�������� ��������� ��������� ��������� �� �������, �� �������� ������� ��������� �����:
1) ��� ����� �������� ����� ����� � ������������ (27.961; 136.893)
2) ��� ����� ����������� ������ � ������ ���������.
������ 2 . �� ������ �������������� ������� ����� �������� ������� y � x . ������� ������� �������� ����� ����� ���������� x � y � ��������� ��������� �������� ��������� y �� x � x �� y . ������� ������, ������ ��� �� ���� �������� ������� � ��������� ������ ���������. ������� ���� ����� ����� ���������� � ������� ��������������� ���������.
�������������� �������:
X / Y | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
1 | 5 | 4 | 2 | ||
2 | 6 | 3 | 3 | ||
3 | 1 | 2 | 3 | ||
5 | 1 |
��������� �������� ��������� � y �� x ����� ���:
��������� �������� ��������� � x �� y ����� ���:
������ ����������� �������� ��������������.
���������� �������:
x = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 5.53
y = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 1.93
���������:
? 2 x = (2 2 (5) + 4 2 (4 + 6) + 6 2 (2 + 3 + 1) + 8 2 (3 + 2) + 10 2 (3 + 1))/30 — 5.53 2 = 6.58
? 2 y = (1 2 (5 + 4 + 2) + 2 2 (6 + 3 + 3) + 3 2 (1 + 2 + 3) + 5 2 (1))/30 — 1.93 2 = 0.86
������ �������� �������������������� ����������:
?x = 2.57 � ?y = 0.93
� ����������:
Cov(x,y) = (2�1�5 + 4�1�4 + 6�1�2 + 4�2�6 + 6�2�3 + 8�2�3 + 6�3�1 + 8�3�2 + 10�3�3 + 10�5�1)/30 — 5.53 � 1.93 = 1.84
��������� ����������� ����������:
������� ��������� ����� ��������� y(x):
� ��������, ��������:
yx = 0.28 x + 0.39
������� ��������� ����� ��������� x(y):
� ��������, ��������:
xy = 2.13 y + 1.42
���� ��������� �����, ������������ �������� � ����� ���������, ������, ��� ��� ����� �������� ����� ����� � ������������ (5.53; 1.93) � ����� ����������� ������ � ������ ���������.
���������� ������������ ����������.
�� ������� ��������� � ������� ���������� ?=0.05 � ��������� ������� k=30-m-1 = 28 ������� t����:
t���� (n-m-1;?/2) = (28;0.025) = 2.048
��� m = 1 — ���������� ����������� ����������.
���� t���� > t������, �� ���������� �������� ������������ ���������� ���������� �������� (������� ��������, ������������ ��������� ���� ������������ ����������, �����������).
��������� t���� > t����, �� ��������� �������� � ��������� 0 ������������ ����������. ������� �������, ����������� ���������� ������������� — ������.
������ 3 . ������������� 50 ����������� ������� �������������� �� ������� ������������� ������������ � (%) � ����� ������������������ ����� Y (%) ������������ � �������. ����������:
1. ��������� ��������� ������� i � j x y, ��������� ������������ ����� ���������.
2. �����������, ��� ����� ����������� � � Y ���������� �������� �������������� �����������:
�) ����� ��������� ������ ���������, ��������� �� ������� �� ����� ������� � ������������� ������� ��������� � ���� ������������� ������������� ���������� ���������;
�) ��������� ����������� ����������; �� ������ ���������� ?= 0,05 ������� ��� ���������� � ������� ����� � ������� � ����������� ����� ����� ����������� � � Y;
�) ��������� ��������������� ��������� ���������, ������� ���� ������������������ ����� ��� ������� ������������� ������������ 43%.
������� �������
������ . �� �������������� ������� ���������� ���������� � ����������� ����������, ��������� ������ ���������.
������ 4 . ����� ���������� ��������� ������ Y ��������� Y �� X �� ������ �������������� �������.
������� ������� � ������� ������������.
�������
������ �4
������ 5 . � ����� ������� ��������� ������� ������� ����������� � ��� �������� ��������� ���� ��������� ���������� �� ����� ������������ � ������� ���� �������: X — �������� �������� ������� � ���. ���., Y — �������� �������� � ��������� � ������ ������.
���������� ������� ������������� � ������������ � ���� �������������� �������, ��� ������� �������� ��������� X � Y � ���������� �������, �� ������� ����������� ��������������� ���� �������� ��������� ���������.
�������.
������ �5
������ �6
������ �7
������ 6 . ������ ���������� ��� ��������� ��������� ��������� (X, Y) ������������ � �������������� �������. ������� ���������� ��������� ����� ���������� ��������� ������ ��������� Y �� X. ��������� ������ ��������� ��������� � �������� ����� (x;y)� ������������ �� ������� ������.
�������.
������� �������
������ 7 . ���� �������������� ������� ��� ������� X � Y, X- ���� ������ ������ ������ � �����, � Y — ����������� �������� ������ �� ������� ����� ������ � �����������. ���������� ����������� ���������� � ��������� ���������.
X / Y | 2 | 7 | 12 | 17 | 22 | 27 | 32 | 37 | 42 | |
3 | 6 | |||||||||
1 | 25 | 108 | 44 | 8 | 2 | |||||
2 | 30 | 50 | 60 | 21 | 5 | 5 | ||||
3 | 1 | 11 | 33 | 32 | 13 | 2 | 3 | 1 | ||
4 | 5 | 5 | 13 | 13 | 7 | 2 | ||||
5 | 1 | 2 | 12 | 6 | 3 | 2 | 1 | |||
6 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | |||||
7 | 1 | 1 | 1 |
�������.
������� �������
������ 8 . �� �������� �������������� ������� ���������� ��������� ������� �������������� ��������� X � Y. ��������� ������������ � ������������� ����� ���������. �����������, ��� ����� ����������� X � Y ���������� �������� �����������:
- ��������� ���������� ����������� ���������� � ���������������� ������� ������� � ����������� ����� ����� �����������.
- ���������� ����� ��������� � ��������� �� �������.
�������
����������� $covleft(X, Y
ight)$ ��������� ������� $X$ � $Y$ ���������� �������������� �������� ������������ ��������� ������� $X-Mleft(X
ight)$ � $Y-Mleft(Y
ight)$, �� ����:
������ ������ ��������� ���������� ��������� ������� $X$ � $Y$ �� ��������� �������:
������� ����� ���� �������� �� ������ �������, ��������� �������� ��������������� ��������. ���������� �������� �������� ����������.
1. ���������� ��������� �������� � ����� ����� ���� �� ���������.
2. ���������� �����������.
$$covleft(X, Y
ight)=covleft(Y, X
ight).$$
3. ���� ��������� �������� $X$ � $Y$ ����������, ��:
4. ���������� ��������� ����� �������� �� ���� ����������.
$$covleft(cX, Y
ight)=covleft(X, cY
ight)=ccdot covleft(X, Y
ight).$$
5. ���������� �� ���������, ���� � ����� �� ��������� ������� (��� ���� �����) ��������� ���������� ��������:
$$covleft(X+c, Y
ight)=covleft(X, Y+c
ight)=covleft(X+x, Y+c
ight)=covleft(X, Y
ight).$$
6. $covleft(aX+b, cY+d
ight)=accdot covleft(X, Y
ight)$.
8. $left|covleft(X, Y
ight)
ight|=sqrtLeftrightarrow Y=aX+b$.
9. ��������� ����� (��������) ��������� ������� ����� ����� �� ��������� ���� (�����) ��������� ���������� ���� ��������� �������:
$$Dleft(Xpm Y
ight)=Dleft(X
ight)+Dleft(Y
ight)pm 2covleft(X, Y
ight).$$
������ 1. ���� �������������� ������� ���������� ������� $left(X, Y
ight)$. ��������� ���������� $covleft(X, Y
ight)$.
$egin
hline
Xackslash Y & -6 & 0 & 3 \
hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \
hline
0 & 0,05 & p_ <22>& 0 \
hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \
hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \
hline
end
������� $left(X=x_i, Y=y_j
ight)$ �������� ������ ������ �������, ������� ����� ���� ������������ $p_
$egin
hline
Xackslash Y & -6 & 0 & 3 \
hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \
hline
0 & 0,05 & 0,2 & 0 \
hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \
hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \
hline
end
��������� �������� $p_ =sum _
$egin
hline
X & -2 & 0 & 1 & 7 \
hline
p_i & 0,3 & 0,25 & 0,25 & 0,2 \
hline
end
$$Mleft(X
ight)=sum^n_
��������� �������� $q_
$$Mleft(Y
ight)=sum^n_
��������� $Pleft(X=-2, Y=-6
ight)=0,1
e 0,3cdot 0,25$, �� ��������� �������� $X, Y$ �������� ����������.
��������� ���������� $cov left(X, Y
ight)$ ��������� ������� $X, Y$ �� ������� $covleft(X, Y
ight)=Mleft(XY
ight)-Mleft(X
ight)Mleft(Y
ight)$. �������������� �������� ������������ ��������� ������� $X, Y$ �����:
$$Mleft(XY
ight)=sum_
ight)cdot left(-6
ight)+0,2cdot left(-2
ight)cdot 3+0,05cdot 1cdot 3+0,1cdot 7cdot left(-6
ight)+0,1cdot 7cdot 3=-1,95.$$
����� $covleft(X, Y
ight)=Mleft(XY
ight)-Mleft(X
ight)Mleft(Y
ight)=-1,95-1,05cdot left(-0,45
ight)=-1,4775.$ ���� ��������� �������� ����������, �� �� ���������� ����� ����. � ����� ������ $cov(X,Y)
e 0$.
������������� ���������� ��������� ������� $X$ � $Y$ ���������� �����:
���������� �������� �������� ������������ ����������.
1. $
ho left(X, X
ight)=1$.
2. $
ho left(X, Y
ight)=
ho left(Y, X
ight)$.
3. $
ho left(X, Y
ight)=0$ ��� ����������� ��������� ������� $X$ � $Y$.
5. $left|
ho left(X, Y
ight)
ight|le 1$.
6. $left|
ho left(X, Y
ight)
ight|=1Leftrightarrow Y=aX+b$.
����� ���� �������, ��� ����������� ���������� $
ho left(X, Y
ight)$ �������� ������� �������� ����������� ����� ����� ���������� ���������� $X$ � $Y$.
��� $
ho left(X, Y
ight)>0$ ����� ������� ����� � ���, ��� � ������ ��������� �������� $X$ ��������� �������� $Y$ ����� ��������� � ����������. ��� ���������� ������������� �������������� ������������. ��������, ���� � ��� �������� ������� ������������� �������������� ������������.
��� $
ho left(X, Y
ight) �� ���
��� ����������� ��������� � �����, �������� ������ �����������!
Интернет-сервис Студворк построен на передовых, современных технологиях и не поддерживает старые браузеры. Для просмотра сайта загрузите и установите любой из следующих браузеров: