Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.
1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.
Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a
точка O — центр описанной окружности.
AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.
2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:
Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности —
И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности —
3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —
Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:
Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности —
4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.
5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:
Ответ или решение 1
Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/34ei5Qm).
Определим радиус окружности.
R = D / 2 = 12 * √3 / 2 = 6 * √3 см.
Треугольник АОВ равнобедренный так как АО = ВО = R.
Диаметр ВД есть биссектриса угла АВС, а так как треугольник АВС равносторонний, то все его углы равны 60 0 , тогда угол АВО = АВС / 2 = 60 / 2 = 30 0 .
Угол АОВ = 180 – 30 – 30 = 120 0 .
Из треугольника АОВ, по теореме косинусов, определим длину стороны АВ.
АВ 2 = АО 2 + ВО 2 – 2 * АО * ВО * Cos120 = 108 + 108 – 2 * 108 * (-1/2) = 324.
Равс = 3 * 18 = 54 см.
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника равен:
Радиус окружности=диаметр/2=12*корень3/2=6*корень3, сторона треугольника=3*радиус/корень3=3*6*корень3/корень3=18, периметр=3*18=54
Если ответ по предмету Геометрия отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.
