Чему равна степень многочлена

Чему равна степень многочлена

  • Как определить степень многочлена
  • Как возвести трехчлен в квадрат
  • Как вынести общий множитель за скобки

Внимательно посмотрите на заданный многочлен. Если он представлен в стандартном виде, просто найдите максимальную степень у переменной.

К примеру, степень многочлена (5 * x^7 + 3 * x + 6) равна 7, т.к. максимальное число, в которое возводится x, — 7.

Частный случай многочлена — одночлен — выглядит как (c * x^n), где c — коэффициент, x — переменная, n — некоторая степень переменной x. Степень одночлена определена однозначно: та степень, в которую возводится переменная x, и является степенью одночлена.

Например, степень одночлена (6 * x^2) равна 2, т.к. x в этом одночлене возводится именно в квадрат.

Обычное число также может рассматриваться в качестве частного случая одночлена и даже многочлена. Тогда степень такого одночлена (многочлена) равна 0, ибо только возведение в нулевую степень дает единицу.

К примеру, 9 = 9 * 1 = 9 * x^0. Степень одночлена (9) — 0.

Многочлен задан неявно

Многочлен может быть задан не в каноническом виде, а представлен, к примеру, некоторым выражением в скобке, возводимой в какую-то степень. Тут есть два способа определить степень многочлена:

1. Раскрыть скобку, привести многочлен к стандартному виду, найти наибольшую степень при переменной.

Пусть задан многочлен (x — 1)^2

(x — 1)^2 = x^2 — 2 * x + 1. Как видно из разложения, степень этого многочлена равна 2.

2. Рассмотреть отдельно степень каждого слагаемого в скобке с учетом той степени, в которую возводится сама скобка.

Пусть задан многочлен (50 * x^9 — 13 * x^5 + 6 * x)^121

Пытаться раскрывать такую скобку, очевидно, не имеет смысла. Но вот предугадать максимальную степень многочлена, который при этом получится, можно: достаточно лишь взять максимальную степень переменной из скобки и домножить ее на степень скобки.

В данном конкретном примере надо домножить 9 на 121:

9 * 121 = 1089 — это и есть степень рассматриваемого изначально многочлена.

Что такое степень многочлена? Как определить степень одночлена?

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Обычно, прежде чем искать степень многочлена, его приводят к многочлену стандартного вида, хотя, вообще говоря, это не обязательно.

Итак, чтобы найти степень многочлена:

1) Можно привести многочлен к стандартному виду.

Читайте также:  21 Век латинскими цифрами

2) Найти степень всех входящих в него одночленов — членов многочлена.

3) Выбрать наибольшую из этих степеней.

Найти степень многочлена:

Данный многочлен записан в стандартном виде. Степень первого члена многочлена — одночлена 7x²y — равна 2+1=3. Степень второго члена многочлена — -11xy — равна 1+1=2. Степень третьего члена многочлена — 4y — равна 1. -9 — одночлен нулевой степени.

Наибольшая из степеней одночленов — 3. Таким образом, это — многочлен третьей степени.

Здесь 10x²y³ — одночлен 5-й степени, 32x⁴ — 4-й, -12x²y² — также одночлен 4-й степени. Наибольшая из степеней одночленов — 5. Следовательно, это — многочлен 5-й степени.

3) Сначала приведем данный многочлен к стандартному виду:

14a³ — одночлен 3-й степени, -5a³b — 4-й, 16ab³ — также одночлен 4-й степени. Наибольшая из степеней входящих в многочлен одночленов — 4. Таким образом, данный многочлен имеет четвертую степень.

Хотя в алгебре принято упрощать многочлен, приводя его к стандартному виду, степень можно искать и для многочлена, не записанного в стандартном виде.

1,7x — одночлен 1-й степени, 2y — одночлен 1-й степени, -12 — одночлен 0-й степени. Значит, это — многочлен первой степени.

Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. 20 — одночлен 0-й степени. Следовательно, 20 является многочленом нулевой степени.

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · ( − 2 ) · y 12 , — 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 — 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.

Читайте также:  Разрешение не на весь экран windows 10

Рассмотрим еще определения.

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен.

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 — 3 x + 11 .

Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и — 3 , 5 х и 2 х . Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и — 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.

Читайте также:  Цифровая техника из китая

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Степень многочлена произвольного числа — это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = ( 3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12 ) − 2 · ( a · a ) · ( b · b ) · ( c · c ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.

Коэффициенты членов многочлена

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector