Чему равняется число пи в математике

Чему равняется число пи в математике

Число Пи – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,141592653589793238462643. Обозначается греческой буквой — π .

Некоторые могут подумать, раз это отношение обозначается греческой буквой, стало быть, его вывел некий греческий математик. На самом деле об этом история умалчивает. Зато имеются данные о том, кто впервые использовал в своих работах это обозначение.

Обозначение числа Пи буквой π впервые использовал английский математик (преподаватель) Уильям Джонс в 1706 году в своей работе "Synopsis Palmariorum Matheseos" (что в переводе на русский язык означает "Обозрение достижений математики"). Немного позже швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) использовал это обозначение ( π ) в своих работах, получивших всемирное признание. Вскоре после этого появилась тенденция к обозначению числа Пи греческой литерой π .

Все окружности похожи

Если сравнить окружности отличных друг от друга размеров, то можно заметить следующее: размеры разных окружностей пропорциональны. А это значит, что при увеличении диаметра окружности в некоторое количество раз, увеличивается и длина этой окружности в такое же количество раз. Математически это записать можно так:

C1 C2
=
d1 d2 (1)

где C1 и С2 – длины двух разных окружностей, а d1 и d2 – их диаметры.
Это соотношение работает при наличии коэффициента пропорциональности – уже знакомой нам константы π . Из отношения (1) можно сделать вывод: длина окружности C равна произведению диаметра этой окружности на независящий от окружности коэффициент пропорциональности π :

Также эту формулу можно записать в ином виде, выразив диаметр d через радиус R данной окружности:

Как раз эта формула и является проводником в мир окружностей для семиклассников.

Еще с древности люди пытались установить значение этой константы. Так, например, жители Месопотамии вычисляли площадь круга по формуле:

C 2
S = ,
12

где S – площадь круга, C – длина окружности (круга). Если в эту формулу подставить уже знакомые школьнику выражения площади круга S = π r 2 и длины окружности С = 2 π R, то мы получим:

(2 π R) 2
π R 2 =
12

В древнем Египте значение для π было точнее. В 2000-1700 годах до нашей эры писец, именуемый Ахмесом, составил папирус, в котором мы находим рецепты разрешения различных практических задач. Так, например, для нахождения площади круга он использует формулу:

8 2
S = ( d )
9

Из каких соображений он получил эту формулу? – Неизвестно. Вероятно, на основе своих наблюдений, впрочем, как это делали и другие древние философы.

По стопам Архимеда

— Какое из двух числе больше 22/7 или 3.14 ?
— Они равны.
— Почему ?
— Каждое из них равно π .
А. А. Власов. Из Экзаменационного билета.

Некоторы полагают, что дробь 22/7 и чисо π тождественно равны. Но это является заблуждением. Помимо вышеприведенного неверного ответа на экзамене (см. эпиграф) к этой группе можно также добавить одну весьма занимательную головоломку. Задание гласит: "переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным".

Решение будет таковым: нужно образовать "крышу" для двух вертикальных спичек слева, используя одну из вертикальных спичек в знаменателе справа. Получится визуальное изображение буквы π .

Многие знают, что приближение π = 22/7 определил древнегреческий математик Архимед. В честь этого часто такое приближение называют "Архимедовым" числом. Архимеду удалось не только установить приближенное значение для π, но также найти точность этого приближения, а именно – найти узкий числовой промежуток, которому принадлежит значение π . В одной из своих работ Архимед доказывает цепь неравенств, которая на современный лад выглядела бы так:

10 6336 14688 1
3 π
71 1 1 7
2017 4673
4 2

можно записать проще: 3,140 909 π π за 3,14 для удобства подсчета.

Пожалуй, самая известная формула среди школьников, в которой используется π , это – формула длины и площади окружности. Первая – формула площади круга – записывается так:

π D 2
S= π R 2 =
4

где S – площадь окружности, R – ее радиус, D – диаметр окружности.

Длина окружности, или, как ее иногда называют, периметр окружности, вычисляют по формуле:

где C – длина окружности, R – радиус, d – диаметр окружности.

Понятно, что диаметр d равен двум радиусам R.

Из формулы длины окружности можно легко найти радиус окружности:

C C
R= =
2 π d

Обозначения для этих формул остаются те же.

Диаметр окружности можно найти по формуле:

C
D= =2R
π

где D – диаметр, С – длина окружности, R – радиус окружности.

Это базовые формулы, знать которые должен каждый ученик. Также иногда приходится вычислять площадь не всей окружности, а только ее части – сектора. Поэтому представляем вам её – формулу для вычисления площади сектора окружности. Выглядит она так:

α
S = π R 2
360˚

где S – площадь сектора, R – радиус окружности, α – центральный угол в градусах.

Такое загадочное 3,14

И правда, оно загадочно. Потому что в честь этих магических цифр устраивают праздники, снимают фильмы, проводят общественные акции, пишут стихи и многое другое.

Читайте также:  Чем отличается парацетамол от ацетилсалициловой кислоты

Например, в 1998 году вышел фильм американского режиссера Даррена Аронофски под названием "Пи". Фильм получил множество наград.

Каждый год 14 марта в 1:59:26 люди, интересующиеся математикой, празднуют "День числа Пи". К празднику люди подготавливают круглый торт, усаживаются за круглый стол и обсуждают число Пи, решают задачи и головоломки, связанные с Пи.

Вниманием это удивительное число не обошли и поэты, неизвестный написал:
Надо только постараться и запомнить всё как есть – три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть.

Давайте развлечемся!

Вашему вниманию предлагаются интересные ребусы с числом Пи. Разгадайте слова, какие зашифрованы ниже.

Число пи — самая известная константа в математике. Знаком пи обозначается отношение длины к диаметру окружности. Привычное обозначение константа получила не в Древней Греции, как следовало бы ожидать, а в Британии в 1706г. нашей эры. Математик Джонс в своих расчётах обозначил соотношение длины и диаметра окружности первой буквой греческих слов "периферия" и "периметр".

Чтобы ответить на вопрос, чему равно число пи, необходимо вспомнить некоторые его свойства:

  1. Константа пи является иррациональной. Значит, пи не может быть выражено в виде простой дроби, где и числитель, и знаменатель являются целыми числами. Из этого следует, что если представить число пи как десятичную дробь, то эта дробь будет не только бесконечной, но и непериодической. Мало того что количество цифр после запятой бесконечно, из него ещё и нельзя выделить постоянно повторяющуюся последовательность.
  2. Константа пи является трансцендентной. Значит, пи нельзя представить как корень какого-либо многочлена, коэффициенты которого являются целыми числами.

Несмотря на всё вышеперечисленное учёные издревле пытались вычислить значение этой константы.

История вычисления константы пи

Ещё в третьем тысячелетии до нашей эры учёные из Древнего Египта, Месопатамии, Индии и Греции замечали, что соотношение длины и диаметра окружности всегда чуть больше трёх независимо от размеров окружности.

Изучение пи в древней Европе

В Месопотамии это соотношение считали равным трём. В Индии отношение длины к диаметру окружности приравнивали к квадратному корню из десяти. Первым математиком, предложившим доказательный метод расчёта пи, был Архимед. Его способ был прост и нагляден. Архимед вписывал в окружность с диаметром в единицу равносторонние многоугольники и описывал такие же многоугольники вокруг окружности, а потом вычислял периметры этих многоугольников. Таким образом, он получал границы для оценки длины окружности: периметр вписанного многоугольника ограничивал длину окружности снизу, а периметр описанного многоугольника — сверху.

Увеличивая количество углов в многоугольниках, Архимед повышал точность своей оценки. Когда он дошёл до 96 углов в многоугольнике, расчётное значение длины окружности оказалось больше, чем 3+10/71, но меньше, чем 3+1/7. Тогда Архимед выбрал верхнюю границу в качестве приблизительного значения константы пи. Согласно этому предположению, число пи равно 22/7 или 3,142857, если представить его в виде десятичной дроби. То есть, Архимед приблизился к числу пи с точностью до второго знака.

Во втором веке нашей эры дело Архимеда продолжил Клавдий Птолемей. Он довёл количество углов в многоугольнике до 720 и получил приблизительное значение числа пи 377/120 или 3,14166667. Клавдию Птолемею удалось высчитать константу пи с точностью до третьей цифры после запятой.

В шестнадцатом веке нашей эры математик из Голландии Лудольф ван Цейлен потратил десять лет на удваивание углов многоугольника и высчитал константу пи с точностью до двадцати знаков после запятой. Он завещал, чтобы найденные им цифры были выбиты на его надгробной плите. А саму константу стали называть числом Лудольфа.

Изучение числа пи в древнем Китае

Наряду с европейскими математиками, число пи пытались рассчитать и в Поднебесной. В третьем веке нашей эры математик из Китая Лю Хуэй вывел алгоритм, для расчёта константы пи с любой возможной степенью точности. В основу алгоритма легла всё та же идея Архимеда. По такому алгоритму самим Лю Хуэем было высчитано приближение пи для многоугольника с 3072 углами. Оно получилось равным 3,14159. Точность возросла до пятого знака после запятой. В пятом веке нашей эры математик Цзу Чунчжи Вычислил пи с точностью до семи цифр после запятой, расположив эту константу между 3,1415926 и 3,1415927.

Число пи: от средневековья до наших дней

В связи с развитием математического анализа во втором тысячелетии нашей эры для нахождения значения числа пи стали использоваться математические ряды:

  • Ряд Мадхавы-Лейбница сходился медленно, но после некоторых преобразований позволил вычислить константу пи с точностью до одиннадцати цифр после запятой.
  • Формула Виета — первая точная математическая формула для нахождения числа пи — представляет собой бесконечное произведение.
  • Формула Валлиса также представляет собой произведение для расчёта константы пи по аналогии с константой е.
  • Формула Джона Мэчина имеет в своей основе разложение арктангенса в Ряд Тейлора.
  • Бесконечный ряд обратных квадратов, как доказал Эйлер сходится к квадрату пи, деленному на шесть.
Читайте также:  Что делать если в подъезде собираются подростки

Теория вероятностей тоже внесла свой вклад в вычисление пи с помощью метода Монте-Карло и Иглы Бюффона. Но с появлением компьютеров, а также открытием преобразования Фурье, использование рядов для вычисления значения пи позволило достигать астрономической точности.

Чему равно число пи?

Если обобщить опыт предков и пересказать его простыми словами, то выяснится, что после запятой константа пи имеет бесконечное множество знаков, среди которых можно встретить абсолютно любую последовательность цифр, и которые не имеет никакой закономерности. Число пи с точностью до ста знаков после запятой будет выглядеть так:

Последнее зарегистрированное открытие, связанное с числом пи, было сделано в 2016 году. Американец Йи на пару с японцем Кондо высчитал десять триллионов цифр константы. Выучить их все, скорее всего, не удастся. Мировой рекорд по запоминанию цифр константы пи принадлежит индийскому студенту, запомнившему всего семьдесят тысяч знаков.

Сколько цифр из числа пи нужно знать зависит от требуемой точности вычислений. Держать в голове несколько сотен знаков константы пи имеет смысл только для тренировки памяти. Есть он-лайн калькуляторы, позволяющие высчитать пи с любой заданной точностью.

Как запомнить число пи?

Если же хочется держать в памяти более точное значение пи, чем выученные в школе 3,14, то на помощь придут мнемонические правила запоминания. Стишок С. Боброва из произведения "Волшебный двурог" позволяет запомнить число пи с точностью до тринадцати знаков после запятой:

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Ну и дальше надо знать,

Если мы вас спросим — Это будет пять, три, пять,

Другая разновидность мнемонических правил предлагает запоминать цифры из числа пи, сопоставляя их с количеством букв в каждом из слов стихотворения. Например:

Но многие знаки мне лишни, напрасны.

Доверимся знаньям громадным

Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

Это маленькое четверостишие позволяет вспомнить до двадцати цифр числа пи после запятой.

Видео

14 марта объявлен днем числа «Пи», так как в этой дате присутствуют три первые цифры этой константы.

***

Что общего между колесом от Лады Приоры, обручальным кольцом и блюдцем вашего кота? Вы, конечно, скажете красота и стиль, но я осмелюсь с вами поспорить. Число Пи! Это число, объединяющее все окружности, круги и округлости, к коим в частности можно отнести и мамино кольцо, и колесо от любимой папиной машины и даже блюдце любимого кота Мурзика. Готов поспорить, что в рейтинге самых популярных физических и математических констант число Пи несомненно займет первую строчку. Но что скрывается за ним? Может какие-то страшные ругательства математиков? Давайте попробуем разобраться в этом вопросе.

Что же такое число «Пи» и откуда оно взялось?

Современное обозначение числа π (Пи) появилось благодаря английскому математику Джонсону в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια (периферия, или окружность). Для тех, кто проходил математику давно, да и к тому же мимо, напомним, что число Пи — это отношение длины окружности к её диаметру. Величина является константой, то есть постоянна для любой окружности, независимо от её радиуса. Люди знали об этом еще в древности. Так в древнем Египте число Пи принимали равным отношению 256 /81, а в ведических текстах приводится значение 339 /108, Архимед же предлагал соотношение 22 /7. Но ни эти, ни многие другие способы выражения числа Пи не давали точный результат.

Оказалось, что число Пи трансцендентное, соответственно, и иррациональное. А это значит, его нельзя представить в виде простой дроби. Если же его выразить через десятичную, то последовательность цифр после запятой устремятся в бесконечность, к тому же периодически не повторяясь. Что все это значит? Очень просто. Хотите узнать номер телефона понравившейся девушки? Его наверняка можно найти в последовательности цифр после запятой числа Пи.

Телефон можно посмотреть здесь ↓

Не нашли? Тогда посмотрите здесь.

Вообще это может быть не только номер телефона, а любая информация, закодированная с помощью цифр. К примеру, если представить все произведения Александра Сергеевича Пушкина в цифровом виде, то они хранились в числе Пи еще до того, как он их написал, даже до того, как он родился. В принципе, они хранятся там до сих пор. Кстати, ругательства математиков в π тоже присутствуют, да и не только математиков. Словом, в числе Пи есть всё, даже мысли, которые посетят вашу светлую голову завтра, послезавтра, через год, а может, через два. В это очень трудно поверить, но даже если мы представим, что поверили, еще труднее будет получить оттуда информацию и расшифровать её. Так что вместо того, чтобы копаться в этих цифрах, может проще подойти к понравившейся девушке и спросить у неё номер. Но для тех, кто не ищет легких путей, ну или просто интересующихся, чему же равно число Пи, предлагаю несколько способов его вычисления. Считайте на здоровье.

Читайте также:  Интеграл котангенс в квадрате

Чему равно число Пи? Методы его вычисления:

1. Экспериментальный метод. Если число Пи это отношение длины окружности к её диаметру, то первый, пожалуй, самый очевидный способ нахождения нашей загадочной константы будет вручную произвести все измерения и вычислить число Пи по формуле π=l/d. Где l — длина окружности, а d — её диаметр. Все очень просто, необходимо лишь вооружится ниткой для определения длины окружности, линейкой для нахождения диаметра, и, собственно, длины самой нитки, ну и калькулятором, если у вас проблемы с делением в столбик. В роли измеряемого образца может выступить кастрюля или банка из под огурцов, неважно, главное? чтоб в основании была окружность.

Рассмотренный способ вычисления самый простой, но, к сожалению, имеет два существенных недостатка, отражающихся на точности полученного числа Пи. Во-первых, погрешность измерительных приборов (в нашем случае это линейка с ниткой), а во-вторых, нет никакой гарантии, что измеряемая нами окружность будет иметь правильную форму. Поэтому не удивительно, что математика подарила нам множество других методов вычисления π, где нет нужды производить точные измерения.

2. Ряд Лейбница. Существует несколько бесконечных рядов, позволяющих точно вычислять число Пи до большого количества знаков после запятой. Одним из самых простых рядов является ряд Лейбница. π = (4/1) — (4/3) + (4/5) — (4/7) + (4/9) — (4/11) + (4/13) — (4/15) …
Все просто: берем дроби с 4 в числителе (это то что сверху) и одним числом из последовательности нечетных чисел в знаменателе (это то что снизу), последовательно складываем и вычитаем их друг с другом и получаем число Пи. Чем больше итераций или повторений наших нехитрых действий, тем точнее результат. Просто, но не эффективно, к слову, необходимо 500000 итераций чтоб получить точное значение числа Пи с десятью знаками после запятой. То есть, нам придется несчастную четверку разделить аж 500000 раз, а помимо этого полученные результаты мы должны будем 500000 раз вычитать и складывать. Хотите попробовать?

3. Ряд Нилаканта. Нет времени возится с рядом Лейбница? Есть альтернатива. Ряд Нилаканта, хотя он немного сложнее, но позволяет быстрее получить нам искомый результат. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) — (4/(12*13*14) … Думаю, если внимательно посмотреть на приведенный начальный фрагмент ряда, все становится ясным, и комментарии излишни. По этому идем дальше.

4. Метод «Монте-Карло» Довольно интересным методом вычисления числа Пи является метод Монте Карло. Столь экстравагантное название ему досталось в честь одноименного города в королевстве Монако. И причина тому случайность. Нет, его не назвали случайно, просто в основе метода лежат случайные числа, а что может быть случайней чисел, выпадающих на рулетках казино Монте Карло? Вычисление числа Пи не единственное применение этого метода, так в пятидесятых годах его использовали при расчетах водородной бомбы. Но не будем отвлекаться.

Возьмем квадрат со стороной, равной 2r, и впишем в него круг радиусом r. Теперь если наугад ставить точки в квадрате, То вероятность P того, что точка угодит в круг, есть отношение площадей круга и квадрата. P=Sкр/Sкв=2πr 2 /(2r) 2 =π/4.

Теперь отсюда выразим число Пи π=4P. Остается только получить экспериментальные данные и найти вероятность Р как отношение попаданий в круг Nкр к попаданиям в квадрат Nкв. В общем виде расчетная формула будет выглядеть следующим образом: π=4Nкр / Nкв.

Хочется отметить, что для того, чтобы реализовать этот метод, в казино идти необязательно, достаточно воспользоваться любым более или менее приличным языком программирования. Ну а точность полученных результатов будет зависеть от количества поставленных точек, соответственно, чем больше, тем точнее. Желаю удачи 😉

Число Тау (Вместо заключения).

Люди, далекие от математики, скорее всего не знают, но так сложилось, что число Пи имеет брата, который больше его в два раза. Это число Тау(τ) , и, если Пи — это отношение длины окружности к диаметру, то Тау — это отношение этой длины к радиусу. И на сегодняшний день есть предложения некоторых математиков отказаться от числа Пи и заменить его на Тау, так как это во многом более удобно. Но пока это только предложения, и как говорил Лев Давидович Ландау: «Новая теория начинает господствовать тогда, когда вымрут сторонники старой».

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector