Формула для вычисления вероятности

Формула для вычисления вероятности

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте. Версию в pdf можно скачать на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей.

Для вашего удобства к формулам по теории вероятностей мы добавили ссылки на примеры, теорию, калькуляторы, видеоуроки и статьи по подходящим разделам. Используйте эти возможности!

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Случайные события. Основные формулы онлайн

Основные формулы комбинаторики

$$P_n = n! = 1cdot 2 cdot 3 cdot . cdot (n-1) cdot n$$

$$A_m^n = n cdot (n-1) cdot . cdot (n-m+1)$$

Классическое определение вероятности

$$P(A) = frac,$$ где $m$ — число благоприятствующих событию $A$ исходов, $n$ — число всех элементарных равновозможных исходов в испытании.

Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

$$ P(Acdot B) =P(A)cdot P(B) $$

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

$$ P(Acdot B) =P(A)cdot P(B|A),\ P(Acdot B) =P(B)cdot P(A|B). $$

$P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$,

$P(B|A)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$.

Формула полной вероятности

где $H_1, H_2, . H_n$ — полная группа гипотез.

Формула Байеса. Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

где $H_1, H_2, . H_n$ — полная группа гипотез.

Формула Бернулли

Наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшее число $k_0$ появления события при $n$ независимых испытаниях (где $p$ — вероятность появления события при одном испытании):

$$ np-(1-p) le k_0 le np+p. $$

Приближенная формула Пуассона

Если число испытаний $n$ велико, и при этом вероятность $p$ наступления события в каждом испытании крайне мала, так что выполняется условие $np lt 10$, можно применять формулу Пуассона:

Здесь $lambda=n cdot p$ обозначает среднее число появлений события.

Локальная формула Лапласа

вероятность появления события ровно $k$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $varphi(x)$ берутся из таблицы.

Интегральная формула Лапласа

вероятность появления события не менее $m_1$ и не более $m_2$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $Phi(x)$ берутся из таблицы.

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности

$varepsilon$ — величина отклонения, $p$ — вероятность появления события.

Решенные задачи по теории вероятностей

Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:

Что же это за события, для которых можно точно определить вероятности? Покажем это сначала на примере нашей игры в «слепой» дартс. Также будем полагать, что мишень занимает половину стены. И выделим два события:

A: дротик попадает в мишень;

B: дротик не попадает в мишень.

В чем особенность этих двух событий? Дело в том, что они оба образуют все возможные исходы при бросании дротиков. Или, как говорят в теории вероятностей, они образуют полную группу событий. И эта полная группа, в данном случае, состоит из двух событий: A и B. Обозначим размер этой группы через . Вторая важная особенность этих событий – это то, что они не могут произойти одновременно в одном эксперименте. Действительно, дротик либо попадает в цель, либо не попадает. Про такие события говорят, что они несовместные. Так вот, если мы имеем полную группу несовместных событий, то для них всегда выполняется равенство:

.

По сути, эта формула говорит, что при бросании дротика мы или попадем в цель или не попадем. И, разумеется, вероятность этого равна 1.

Наконец, последнее. Так как мишень занимает половину стены, а дротики равномерно распределяются по ней, то в половине случаев они будут попадать в цель, а в половине – не попадать. То есть, вероятности событий A и B равны и составляют величину 1/2. Это же значение можно вычислить еще и так. Учитывая, что и , имеем равенство:

А теперь давайте применим этот же подход к вычислению вероятностей выпадения орла или решки симметрической монетки. Также обозначим два события:

A: выпадение орла;

B: выпадение решки.

Эти события образуют полную группу событий, то есть, при подбрасывании монетки никакое другое событие, кроме этих двух, произойти не может. Размер этой группы также равен . Очевидно, что они несовместны (не могут оба произойти одновременно при однократном подбрасывании) и равновероятны (так как стороны монетки совершенно одинаковы). Отсюда автоматически получаем, что

Чуть усложним задачу и рассмотрим игральный кубик с одинаковыми шестью гранями. Каждая грань кубика пронумерована от 1 до 6. И для них введем шесть событий: . Эти несовместные события образуют полную группу событий размером и равновероятны (так как грани кубика абсолютно одинаковы, а сам кубик имеет одинаковую плотность и материал в каждой его точке). Тогда неизбежно получаем следующие вероятности появления той или иной грани кубика:

Теперь внимательно посмотрите на полученные формулы. В знаменателе каждой из них стоит число – размер группы, а в числителе записана 1. Обозначим ее через – это число элементарных несовместных событий благоприятных тому или иному исходу. Например, если при бросании игрального кубика ввести такое событие:

A: выпадение числа 1 или числа 3,

то для него будут благоприятны уже два элементарных события: и . И в этом случае . Соответственно, вероятность этого события будет равна:

Вот мы с вами познакомились с первой формулой для вычисления вероятностей некоторых событий:

Здесь – это размер полной группы несовместных равновероятных событий; – число элементарных событий (из полной группы), благоприятных некоторому исходу (для которого и вычисляется вероятность).

Чтобы лучше понять как применять данную формулу, рассмотрим несколько типовых задач из ЕГЭ по теории вероятностей.

Задача 1. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Читайте также:  Как на авито удалить объявление бесплатно

Обратите внимание на формулировку «в среднем». Она указывает на то, что числа 1000 и 7 непосредственно описывают вероятности подтекания и не подтекания насосов.

Далее, мы можем рассмотреть группу из насосов. Здесь каждый насос можно воспринимать как отдельное элементарное несовместное событие (так как для контроля выбирается только один). А все вместе они образуют полную группу событий. Запишем событие, вероятность которого требуется найти:

A: случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Число благоприятных исходов для него будет равно , так как именно столько насосов из 1000, в среднем, не подтекают. Подставляем эти значения в формулу вычисления вероятности, получаем:

Задача 2. В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Здесь понятия «в среднем» не требуется, так как имеется ограниченная выборка из 35 такси. Мы из этих машин составляем полную группу несовместных и равновероятных событий размером . Далее, вводим искомое событие

A: приедет зеленое такси.

И, так как зеленых машин 7, то благоприятных исходов для события A равно . Подставляем эти величины в формулу вычисления вероятности, получаем:

Задача 3. На тарелке 16 пирожков: 8 с мясом, 3 с яблоками и 5 с луком. Настя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом.

Решение этой задачи аналогично предыдущей, только вместо такси пирожки с различными начинками. Попробуйте решить ее самостоятельно.

"Случайности не случайны". Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности – это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

  • Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
  • Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
  • Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

  • А = «студенты пришли на лекцию».
  • Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий — их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

  • А = «студентка пришла на лекцию».
  • В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Читайте также:  Как зарядить пауэр банк xiaomi

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1: Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

  • А = «фирма получит первый контракт».
  • А1 = «фирма не получит первый контракт».
  • В = «фирма получит второй контракт».
  • В1 = «фирма не получит второй контракт»
  • С = «фирма получит третий контракт».
  • С1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

  • К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

  • М = «фирма не получит ни одного контракта».

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

А1ВС1 – это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события – это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

  • классическое;
  • статистическое;
  • геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

  • Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А – собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А1.

m – количество возможных благоприятных случаев.

n – все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого — со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить Wn(A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая – согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В — n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт – это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n — это все элементы, m – элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Рn = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов — формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Читайте также:  Чем отличается импульсный трансформатор от обычного

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица – это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q – число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P6(0) = C 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P6(2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3: На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак — это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р100000(5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Задание 4: Рекламный агент раздает 800 листовок. Согласно статистическим исследованиям, каждая третья листовка находит своего потребителя. Какова вероятность того, что сработает ровно 267 рекламных листовок?

Сначала найдем Xm, подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р800(267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) – условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) – условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» — формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5: На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором – 60%, на третьем – 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй – 4%, и у третьей – 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В1 – телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В2 и В3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В1) = 25%/100% = 0,25; Р(В2) = 0,6; Р (В3) = 0,15 – таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector