Формула прямой линии на графике

Формула прямой линии на графике

•Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
•Графиком линейной функции является прямая.

1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y= ⅓ x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓ x+2:

2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
• если k>0, то функция y=kx+b возрастает
• если k 0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
• если b ½ x+3; y=x+3

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.

Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
• График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
• График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.
• График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

5. Условие перепендикулярности двух прямых:

6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Читайте также:  Xerox 3220 сброс сообщения тонера

Для начала скажи мне, что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

Итак, ты усвоил что такое функция.

Повторим: функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция , это значит что каждому допустимому значению переменной (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому»?

Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»!

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции отрицательные значения аргумента – недопустимы.

Линейная функция

Вернемся, наконец, к теме данной статьи.

Линейной называется функция вида , где и ­– любые числа (они называются коэффициентами).

Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной? Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения и область значений .

Какими могут быть значения аргумента линейной функции ? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:

А множество значений? Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент , тем больше значение функции . Значит, так же как и может принимать все возможные значения, то есть , верно?

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу: . Какие нужно выбрать коэффициенты и , чтобы значение функции y не зависело от аргумента ? А вот какие: – любое, но . И правда, каким бы ни был аргумент , при умножении на получится ! Тогда функция станет равна , то есть она принимает одно и то же значение при всех :

Теперь рассмотрим пару задач на линейную функцию.

  1. При увеличении аргумента функции на , функция увеличилась на . Найдите коэффициент .
  2. При увеличении аргумента функции на , функция уменьшилась на . Найдите коэффициент .
  3. Дана функция . При , а при . Определите коэффициенты и функции.

Решения:

1. Пусть начальное значение аргумента равно некому числу . После увеличения на аргумент стал равен: .

Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:

Функция увеличилась на . Как это записать на «математическом языке» (в виде уравнения)? Изменение – это разность конечного и начального значений. Значит, нужно из конечного значения функции вычесть начальное:

2. Аналогично предыдущей задаче:

Начальное значение аргумента равно , конечное – .

Начальное значение функции: ;

конечное значение функции: .

В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:

Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу:

При изменении аргумента линейной функции на функция изменяется на . То есть изменение функции всегда ровно в раз больше изменения аргумента.

По-сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.

3. Подставим известные значения аргумента и функции в формулу :

Получили два уравнения относительно и . Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

Подставим найденное значение k в первое уравнение:

Ответ:

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия. Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Читайте также:  Сайты несколько лет назад

Предположим, у нас есть функция линейная функция . Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек. Т

о есть нужно взять любые два значения аргумента и вычислить соответствующие два значения функции.

Затем для каждой пары найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.

Проще всего найти функцию, если аргумент .

Итак, первая точка имеет координаты .

Теперь возьмем любое другое число в качестве , например, .

Вторая точка имеет координаты .

Ставим эти две точки на координатной плоскости:

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

Вот и все, график построен!

Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: и . Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений , отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.

Должно получиться так:

Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах и .

Давай разберемся, на что они влияют.

Для начала выясним, что делает коэффициент . Рассмотрим функцию , то есть .

Меняя будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений :

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики? Это сразу видно: чем больше , тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось в точке с координатой, равной !

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью ? Чему равен в такой точке? В любой точке оси ординат (это название оси , если ты забыл) . Значит достаточно подставить в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью :

Теперь по поводу . Рассмотрим функцию Будем менять и смотреть, что происходит с графиком. Построим графики для

Так, теперь ясно: влияет на наклон графика. Чем больше по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – ) расположена прямая. Если 0"> , график наклонен «вправо», при – «влево». А когда , прямая располагается вдоль оси абсциссс.

Давай разбираться. Начертим новый график :

Выберем на графике две точки и . Для простоты выберем точку на пересечении графика с осью ординат. Точка – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны . Рассмотрим прямоугольный треугольник , построенный на отрезке как на гипотенузе. Из рисунка видно, что , .

Итак, коэффициент равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс. Именно поэтому его (коэффициент ) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда что соответствует тупому углу:

Если же , тогда и следовательно , то есть прямая параллельна оси абсциссс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

1. Найдите коэффициенты и линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

2. Найдите коэффициенты и линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

3. График какой из функций избражен на рисунке?

Решения:

1. Коэффициент найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью :

Угловой коэффициент – это тангенс угла наклона прямой. Для его нахождения выберем две точки и на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой :

Теперь можно составить уравнение этой прямой:

2. Все аналогично предыдущей задаче.

Поскольку график наклонен «влево», угол межну ним и осью абсцисс тупой, а значит, угловой коэффициент отрицательный.

Читайте также:  Mi a2 lite или redmi 6 pro

Чтобы было проще найти тангенс угла наклона , рассмотрим смежный с ним угол . Тангенсы смежных углов равны по модулю, и противоположны по знаку:

Уравнение этой прямой выглядит так:

3. И снова в первую очередь смотрим на . Значит, есть смысл рассматривать только функции a), b) и d).

Теперь посмотрим, каким должен быть угловой коэффициент?

Во-первых, он должен быть отрицательным, значит, выбрасываем ответ b). Остается a) и d).

Чтобы выбрать из них, придется найти тангенс угла наклона графика:

Отлично, значит уравнение этой прямой выглядит так:

То есть правильный ответ: a.

Точка пересечения графика с осью ординат – это коэффициент . А что можно сказать про точку пересечения с осью абсцисс?

В случае пересечения с осью координата . При пересечении оси – аналогично, координата :

Да это же простое линейное уравнение! И действительно, такое линейное уравнение говорит нам, при каких значениях аргумента функция , то есть корни такого уравнения – это координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Это справедливо, кстати, для любой функции/уравнения.

Например, корни квадратного уравнения – это точки пересечения графика квадратичной функции – параболы – с осью .

Но подробнее об этом ты узнаешь в темах «Квадратные уравнения» и «Квадратичная функция».

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ.

Линейная функция — это функция вида , где и ­– любые числа (коэффициенты).

Рассмотрим, как коэффициенты влияют на месторасположение графика:

  • — отвечает за угол наклона графика ( )
  • — точка пересечения с .

Общие варианты представлены на рисунке:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений.

Прямая линия — график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a

Парабола — график функции квадратного трёхчлена у = ах 2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а 2 + bx +с =0

Гипербола — график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а 0) или у — — х(а

Экспонента (показательная функция по основанию е) у = е x . (Другое написание у = ехр(х)). Асимптота — ось абсцисс.

Логарифмическая функция y = logax (a > 0)

у = sinx. Синусоида — периодическая функция с периодом Т = 2π

у = а•sin(ωx+φ) — функция гармонических колебаний. Обозначения: а — амплитуда, ω — частота (ω = 2π/Т), φ — фаза (сдвиг).

Косинусоида у = cosx (графики у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на )

Тангенсоида y = tgx. Точки разрыва при х = (2k -1), где k = 0, ±1, ±2. Вертикальные асимптоты в этих точках.

Гауссиана у = Аe -(ax 2 ) . Кривая "нормального" закона распределения ошибок, у которого

, ,

σ 2 — дисперсия ошибки. Симметрия относительно оси у.

у = secx — кривая "цепной линии", эту форму принимает абсолютно гибкая нить, подвешенная в параллельном поле тяжести. А полная функция периодична, и её асимптоты х = (2k -1), как у функции y = tgx.

Затухающее колебание y = Ae -ax •sin(ωx+φ)

Квадратный корень — элементарная функция и частный случай степенной функции с . Арифметический квадратный корень является гладким при , в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем.

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в нуле.

Кубический корень — нечётная функция.

Функция модуль является четной функцией. Производная функции модуль в точке x=0 не существует. График функции модуль симметричен относительно оси ординат.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector