Формула валлиса для числа пи

Формула валлиса для числа пи

Получение формулы Валлиса

Для вывода формулы Валлиса необходимо вычислить следующий интеграл:

(при натуральном m).

Интегрируя по частям, найдём

Двойная подстановка обращает в нуль. Заменяя через , получим

откуда рекуррентная формула:

Такие же точно результаты получаются и для Im.

Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом m!! (произведение натуральных чисел, не превосходящих m и одной с ним чётности). Тогда можно будет написать

при mнечетном (1)

Из формулы (1) можно вывести знаменитую формулу Валлиса (J. Wallis).

очевидно, стремится к 0 при , то является их общим пределом. Итак,

Отсюда в свою очередь вытекает

Эта формула носит название формулы Валлиса. Она дает довольно простое выражение числа через натуральные числа. Теоретически этот результат интересен. Что касается ценности этой формулы как средства фактического вычисления , то она невелика. Именно, чтобы получить удовлетворительную точность, надо взять n довольно большим, а тогда выражение оказывается весьма громоздким.

Формула Валлиса — одна из первых формул, в которой число [math]pi[/math] выражено в виде последовательности рациональных чисел.

Однако, так как она очень медленно приближается к [math]pi[/math] , на практике её использование бессмысленно.

Определение:
[math](2n)!! = 2cdot4cdotldotscdot2n[/math]
Определение:
[math](2n — 1)!! = 1cdot3cdot5cdotldotscdot(2n — 1)[/math]
Утверждение:
[math] riangleright[/math]

Рассмотрим последовательность [math]I_n = intlimits_0^ <pi/2>sin^n x dx[/math] и выведем для неё рекуррентную формулу.

[math]I_n = intlimits_0^ <pi/2>sin^n x dx = [/math] [math]intlimits_0^<pi/2>sin^ x d(-cos x) = [/math] [math]-sin^cos x|^<pi/2>_0 + intlimits_0^ <pi/2>cos x d sin^x = [/math] [math](n — 1)intlimits_0^ <pi/2>sin^ x cos^2xcdot dx = [/math] [math](n — 1)intlimits_0^ <pi/2>sin^ x (1-sin^2x)dx = [/math] [math](n — 1)(I_ — I_n)[/math]

Получили: [math]I_n = (n — 1)(I_ — I_n)[/math] .

Получена рекуррентная формула с шагом два. Значит, для её вычисления нужно найти [math]I_0[/math] и [math]I_1[/math] .

[math]I_0 = intlimits_0^ <pi/2>1 dx = fracpi2[/math]

[math]I_1 = intlimits_0^ <pi/2>sin x dx = -cos x|_0^ <pi/2>= 1[/math]

Читайте также:  Алгоритм преобразования десятичного числа в двоичное

[math]I_n =[/math] [math]fracn I_ =[/math] [math]fracn cdot frac I_ = [/math] [math]ldots[/math] .

Посчитаем отдельно для случая чётного и нечётного [math]n[/math] .

[math]I_ <2n>= frac<2n-1> <2n>cdot frac<2n-3> <2n-2>cdot ldots cdot fracpi2 = frac<(2n-1)!!> <(2n)!!>cdot fracpi2[/math]

Так как при [math]x in left[0; fracpi2
ight][/math] [math]sin x geq 0[/math] , [math]sin^ x leq sin^n x[/math] .

Тогда [math]I_ leq I_n[/math]

Также, [math]I_ <2n+1>leq I_ <2n>leq I_<2n-1>[/math] . Распишем это неравенство:

Домножим всё на [math]frac<(2n)!!><(2n-1)!!>[/math] . За [math]a_n[/math] обозначим то, что находится под знаком предела в формуле Валлиса.

[math]a_n leq fracpi2 leq frac<2n+1> <2n>a_n = a_n(1 + frac1<2n>)[/math]

Рассмотрим разность крайних выражений: [math]a_n(1 + frac1<2n>) — a_n = a_nfrac1 <2n>leq fracpi2 frac1<2n>[/math] . Это при устремлении [math]n o infty[/math] стремится к [math]0[/math] :

В 1655 году английский математик Джон Валлис предложил красивую формулу для вычисления соотношения полудлины окружности к её диаметру, т.е. для вычисления иррационального числа ( , frac <pi> <2>) (см. Пи_(число)):

К сожалению, это бесконечное произведение сходится крайне медленно. Но примечательно оно тем, что хаос цифр, присущий всемирной константе, может быть образован двумя цепочками натурального ряда чисел, то есть наиболее упорядоченной системой во всей математике. В самом деле, если смотреть как идут числа от числителя к знаменателю и наоборот, то можно легко убедиться в правоте сказанного.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector