Электростатическое поле равномерно заряженной сферы

Электростатическое поле равномерно заряженной сферы

Найдем напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого зарядом Q, равномерно распределенным по поверхности сферы. Так как заряд распределен сферически симметрично, создаваемое им поле также будет сферически симметричным. Построим декартову систему координат так, чтобы ее начало совпало с центром О сферы (рис. 1.15).

где Е(г) — проекция вектора Е на радиус-вектор г. Согласно этой формуле вектор напряженности электрического поля в любой точке Р(г) коллинеарен радиус-вектору г, а его модуль зависит только от расстояния г до центра О. Из формулы (1.64) следует также, что силовые линии поля есть прямые, проходящие через начало координат. При этом эквипотенциальные поверхности являются сферами с центром в начале координат, а зависимость потенциала от координат точки Р будет сферически симметричной функцией вида

Рис. 1.15. К вычислению напряженности пом заряженной сферы

т.е. потенциал будет зависеть только от модуля г радиус-вектора. Подстановка этой функции в формулу (1.22) приводит к выражению (1.64), в котором

Формула (1.64) определяет направление вектора Е . Проекцию Е(г) этого вектора на радиальное направление можно найти при помощи теоремы Гаусса. Для этого следует вычислить

поток Фе вектора Е через поверхность S сферы произвольного радиуса г, центр которой совпадает с центром О заряженной сферы. При этом радиус г может как меньше радиуса Я заряженной сферы, так и больше его (рис. 1.15).

Векторный элемент поверхности сферы описывается выражением (1.58). Подстановка этого выражения и выражения (1.64) в формулу (1.56) приводит к следующему результату:

В такой системе координат сферически симметричное векторное поле Е = Е (г) описывается формулой

Применим теорему Гаусса. Если радиус г сферы S меньше радиуса Я заряженной сферы, то заряд внутри сферы 5 будет равен нулю. Если же радиус г сферы 5 больше радиуса Я, то вся заряженная сфера окажется внутри сферы S. Таким образом, теорема Гаусса (1.61) приводит к равенству

этого равенства вытекает зависимость

График этой зависимости для случая, когда Q > 0, показан на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Зависимость напряженности поля от расстояния г

Рис. 1.17. Зависимость потенциала от расстояния г

Читайте также:  Технология ahci в биосе

Нетрудно проверить, что непрерывная функция р = у?(г), подстановка которой в формулу (1.65) приводит к найденной зависимости Е = Е(г), такова

График функции (1.67) изображен на рис. 1.17.

Полученные зависимости позволяют утверждать, что электрическое поле внутри равномерно по поверхности заряженной сферы отсутствует, а вне этой сферы электрическое поле такое же, как поле точечного заряда.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Когда заряд распределен по какой-либо поверхности, то для расчета полей удобно ввести поверхностную плотность заряда с. Выделим на плоской поверхности маленький участок площадью ΔS. Пусть заряд этого участка равен Δq. Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда Δq к площади поверхности, по которой он распределен:

Эта плотность может непрерывно изменяться вдоль поверхности. Конечно, электрический заряд имеет дискретную (прерывную) структуру, так как сосредоточен в элементарных частицах. Но если на поверхности площадью ΔS содержится огромное число элементарных зарядов, то дискретную структуру заряда можно не принимать во внимание. Мы ведь пользуемся понятием плотности, считая, что масса непрерывно распределена в пространстве. А на самом деле все тела состоят из дискретных образований — атомов.

В случае равномерного распределения заряда q по поверхности площадью S поверхностная плотность заряда постоянна и равна:

Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Поверхностная плотность заряда σ известна. Из соображений симметрии очевидно, что линии напряженности представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости. Поле бесконечной плоскости — однородное поле. Во всех точках пространства, независимо от расстояния до плоскости, напряженность поля одна и та же.

Для применения теоремы Гаусса нужно выбрать замкнутую поверхность таким образом, чтобы можно было легко вычислить поток напряженности электрического поля через эту поверхность. В данном случае удобнее всего выбрать цилиндр, образующие которого параллельны линиям напряженности электрического поля, а основания параллельны плоскости (рис. 1.43).

Тогда поток через боковую поверхность цилиндра будет равен нулю. Поэтому полный поток равен потоку через основания цилиндра А и В:

где Еn — проекция вектора напряженности на нормаль к основанию цилиндра. Полный заряд внутри цилиндра равен σS. Согласно теореме Гаусса

Читайте также:  Как написать email пример

Отсюда модуль напряженности равен:

В СИ эта формула принимает вид:

а в абсолютной системе

Поле равномерно заряженной сферы

Поток напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность внутри сферы равен нулю, так как равен нулю заряд. Это может быть лишь в том случае, когда напряженность поля внутри сферы равна нулю.

Найдем напряженность поля вне сферы. Из соображений симметрии ясно, что линии напряженности начинаются на поверхности сферы (в случае положительного заряда), направлены по радиусам сферы и перпендикулярны ее поверхности (рис. 1.44). Поэтому модуль напряженности поля одинаков во всех точках, лежащих на одинаковых расстояниях от центра сферы.

Проведем сферическую поверхность радиусом r > R, где R — радиус заряженной сферы. Поток напряженности через эту поверхность равен:

Если заряд сферы q, то по теореме Гаусса

Следовательно, модуль напряженности поля при r > R равен:

Таким образом, поле заряженной сферы совпадает вне сферы с полем точечного заряда, расположенного в центре сферы. График зависимости Е(r) изображен на рисунке 1.45.

Поле равномерно заряженного шара

Для характеристики распределения заряда по объему используется понятие объемной плотности заряда. Объемной плотностью заряда называется отношение заряда Δq к объему ΔV, в котором он распределен:

Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд q равномерно распределен по объему V, то объемная плотность заряда постоянна и равна:

Будем считать, что шар радиусом R равномерно заряжен; плотность заряда ρ известна. Полный заряд шара

Напряженность электрического поля вне шара можно найти с помощью теоремы Гаусса точно так же, как и напряженность равномерно заряженной сферы [см. формулу (1.12.9)]:

(при условии, что r > R). Поле аналогично полю точечного заряда q, расположенного в центре шара.

Для нахождения поля внутри шара нужно применить теорему Гаусса к потоку напряженности через сферическую поверхность радиусом к

Напряженность электрического поля линейно растет с увеличением расстояния вплоть до u = R. При r > R она определяется формулой (1.12.12). График модуля напряженности поля в зависимости от расстояния до центра представлен на рисунке 1.47.

Читайте также:  Режим полета не отключается

Теорема Гаусса позволяет сравнительно просто определить напряженность электрического поля, если распределение заряда обладает определенной симметрией. Формулы (1.12.5), (1.12.9) и (1.12.15) следует запомнить. Их придется часто использовать.

Вопрос для самопроверки

  1. Заряженный лист фольги имеет такие же размеры, как страница из тетради. Можно ли определить напряженность электрического поля, созданного листом, на расстоянии 0,5 см от него, используя формулу (1.12.4)?

* Мы предполагаем, что диэлектрическая проницаемость среды одинакова внутри и вне шара.

Теорема Гаусса.

Потоком вектора напряженности через замкнутый контур площадью S называется произведение проекции вектора напряженности на нормаль к контуру на площадь контура: .

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную: .

Напряженность поля точечного заряда.

Для определения напряженности проведем сферическую поверхность S радиусом r с центром совпадающим с зарядом и воспользуемся теоремой Гаусса. Так как внутри указанной области находится только один заряд q, то согласно указанной теореме получим равенство: (1), где En — нормальная составляющая напряженности электрического поля. Из соображений симметрии нормальная составляющая должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферической поверхности, поэтому E=En=const. Поэтому ее можно вынести за знак суммы. Тогда равенство (1) примет вид , что и было получено из закона Кулона и определения напряженности электрического поля.

Электрическое поле заряженной сферы

Если сфера проводящая, то весь заряд находится на поверхности. Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

Для определения напряженности в области I проведем сферическую поверхность S1 радиусом r1 (0

(2), Þ — напряженность поля вне сферы рассчитывается по той же формуле, что и напряженность поля точечного заряда.

Электрическое поле заряженного шара

Заряд равномерно распределен по всему объему шара, поэтому введем понятие объемной плотности заряда: . Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

Для определения напряженности в области I проведем сферическую поверхность S1 радиусом r1 (0

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector