С вероятностью 0 954 предельную ошибку

С вероятностью 0 954 предельную ошибку

Для изучения мнения студентов о проведении определенных мероприятий из совокупности, состоящей из 10 тыс. человек, методом случайного бесповторного отбора опрошено 600 студентов. Из них 240 одобрили план мероприятий. С вероятностью 0,954 определите пре­дел, в котором находится доля студентов, одобривших мероприятия, во всей совокупности.

Решение:

При собственно-случайном бесповторном отборе среднюю ошибку выборочной доли рассчитывают по формуле:

ω — доля единиц выборочной совокупности, обладающих изучаемым признаком,

n – численность выборочной совокупности,

N – численность генеральной совокупности.

Доля студентов одобривших мероприятия из числа опрошенных студентов составила:

Рассчитаем среднюю ошибку выборочной доли:

Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954 составит:

Δ = μ * t = 0,019 * 2 = 0,039 (или 3,9%).

t — коэффициент доверия.

Значение t табличное (смотри Задачу №32).

При Р = 0,954, t = 2,0.

Определим пределы, доли признака в генеральной совокупности следующим образом:

Пределы генеральной доли признака в генеральной совокупности:

0,4 – 0,039 ˂ р ˂ 0,4 + 0,039

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля студентов, одобривших мероприятия, во всей совокупности находится в пределах от 36,1% до 43,9%.

Решение типовых задач

Задача 1. Методом случайной повторной выборки для проверки на вес было взято 100 деталей. Установлено, что средний вес детали 42 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится средний вес детали в генеральной совокупности.

По условию задачи: п = 100; х = 42 п а = 4 г; F(z) = 0,954.

Генеральная средняя х отличается от выборочной средней х на величину предельной ошибки выборки Л*, по формуле (7.8).

Рассчитаем предельную ошибку с вероятностью 0,954 по формуле (7.7). Для этого определим коэффициент доверия 2.

Из табл. 7.3 получаем, что 2 = 2.

Теперь определим среднюю ошибку повторной выборки по формуле (7.1):

Тогда предельная ошибка выборки

Определим верхнюю границу генеральной средней:

Определим нижнюю границу генеральной средней:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес детали в генеральной совокупности находится в следующих пределах:

Задача 2. В районном центре проживает 2000 семей. Для разработки программы социальной защиты определялось среднее число несовершеннолетних детей в семье, была проведена случайная бесновторная выборка семей. С вероятностью 0,997 определить границы, в которых находится среднее число детей в семье в генеральной совокупности, если по итогам выборки получены следующие данные:

Число детей в семье. 0

По условию задачи N= 2000; п = 72; F(z) = 0,997.

Из табл. 7.3 2 = 3.

Чтобы определить границы генеральной средней, необходимо рассчитать выборочную среднюю и предельную ошибку выборочной средней.

Рассчитаем среднее число детей в семье и дисперсию оценки числа детей по данным выборки, используя формулы

Составим расчетную таблицу.

Таблица для расчета среднего числа детей в семье и дисперсии оценки числа

Читайте также:  10 Поросят пошли купаться в море

детей но данным выборки

Число детей в семье (*,)

Определим среднюю ошибку бесповторной выборки по формуле (7.2):

Тогда предельная ошибка

Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднее число детей в семье в районном центре находится в границах:

Задача 3. В городе с 700 тыс. жителей методом случайного бесповторного отбора обследовано 40 тыс. жителей. Установлено, что 15% жителей имеют возраст старше 60 лет. С вероятностью 0,95 определить пределы, в которых находится доля жителей города старше 60 лет.

По условию задачи N = 700 000; п — 40 000; о) = 15% = 0.15; F(z) = 0,95.

Тогда из табл. 7.3 z = 1,96.

Генеральная доля р определяется по формуле (7.9). Чтобы по формуле (7.7) рассчитать предельную ошибку доли, найдем среднюю ошибку доли для бесповторного отбора по формуле (7.4):

Тогда предельная ошибка (формула (7.7))

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что доля жителей в возрасте 60 лет находится в пределах: (15-0,4)% (7) = 0,95.

Для оценки равенства средних значений в двух малых выборках рассчитаем 1-критерий по формуле (7.25):

Определим табличное значение <-критерия при уровне значимости Т = 0.05 и степени свободы df = 24 + 26 — 2 = 48: <таб = 2,0. Поскольку |<|

Пример 1. Для изучения оснащения заводов основными про­изводственными фондами было проведено 10%-ное выборочное обследование, в результате которого получены следующие данные о распределении заводов по стоимости основных производственных фондов:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.

Требуется определить: 1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех заводов генеральной совокупности; 2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес заводов со стоимостью основных производ­ственных фондов свыше 4 млн. руб.

Решение. Предельная ошибка выборки (ошибка репрезентативности) исчисляется по формуле:

,

где μ – средняя ошибка репрезентативности;

t – коэффициент кратности ошибки, показывающий, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке.

Пределы возможной ошибки (∆) определяются с вероятностью. Значение t найдем по таблице интеграла вероятностей.

Для Соответствует вероятность

Конкретное количественное выражение предельная ошибка принимает после определения средней ошибки выборки. Для нахождения ошибки репрезентативности собственно чайной и механической выборок имеются нижеследующие формулы.

Повторная выборка при определении:

среднего размера ошибки признака (1)

средней ошибки доли признака (2)

Бесповторная выборка при определении:

среднего размера ошибки признака (3)

средней ошибки доли признака (4)

N – численность генеральной совокупности;

п – численность выборочной совокупности;

 2 – дисперсия варьирующего (осредняемого) признака в выбороч­ной совокупности;

Читайте также:  League of legends последнее обновление

ω – доля данного признака в выборке;

(1 – ω) – доля противоположного признака в выборке.

1. Для определения границ генеральной средней необ­ходимо исчислить среднюю выборочную ()и дисперсию ( 2 ), техника расчета которых приведена в таблице:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб., х

Число заводов, f

Середина интервала, х

х

(х) 2

(х) 2 f

млн. руб.;

.

Для упрощения расчетов средней и дисперсии можно использовать способ моментов. Техника расчетов и  2 по способу моментов изложена в первой части брошюры «Прак­тикум по общей теории статистики».

Итак имеются данные: N = 500, п = 50 заводов;  2 = 3,13.

Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой .стоимости основных фондов составит:

а) при повторном отборе (по формуле 1) –

≈ ± 0,25 млн. руб.;

б) при бесповторном отборе (по формуле 3) –

≈ ± 0,24 млн. руб.;

Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли до­пустить среднюю ошибку репрезентативности в 0,25 млн. руб. при повторном и 0,24 млн. руб. при бесповторном от­боре в ту или иную сторону от среднегодовой стоимости ос­новных производственных фондов, приходящейся на один завод в выборочной совокупности. Исчисленные данные по­казывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативности (0,24) меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (0,25).

В нашем примере Р = 0,997, следовательно, t = 3.

Исчислим предельную ошибку выборочной средней (∆х): ∆х = ±3μ; т. е. ∆х = = ±3 × 0,25 = ±0,75 млн. руб. (при повтор­ном отборе); ∆х = ±3 × 0,24 = ±0,72 млн. руб. (при бесповторном отборе).

Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной со­вокупности в общем виде, может быть представлен следую­щим образом:

;

Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на один завод генеральной совокупности будет находиться в следующих пределах.

а) при повторном отборе –

= 4,52 ± 0,25 или 4,27 млн. руб. ≤ ≤ 4,77 млн. руб.;

б) при бесповторном отборе –

= 4,52 ± 0,24 или 4,28 млн. руб. ≤ ≤ 4,76 млн. руб.

Эти границы можно гарантировать е вероятностью 0,997.

2. Вычисление пределов при установлении доли осуще­ствляется аналогично нахождению пределов для средней величины. В общем виде расчет можно представить следующим образом:

; ,

где р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности.

Доля заводов в выборочной совокупности со стоимость основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. со­ставляет:

, или 66%.

Определяем предельную ошибку для дели. По условию задачи известно, что N = 500; n = 5; ω = 0,66; Р = 0,954; t = 2.

Исчислим предельную ошибку доли:

Читайте также:  Teamviewer не выдает пароль

при повторном отборе (по формуле 2) –

, или 13,4%;

при бесповторном отборе (по формуле 4) –

, или 12,7%.

Следовательно, с вероятностью 0,954 доля заведен се стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. в генеральной совокупности будет находиться в пределах:

р = 66% ± 13,4%, или 52,6% ≤ р ≤ 79,4% при повторном отборе;

р = 66% ± 12,7%, или 53,3% ≤ р ≤ 78,7% при бесповторном отборе.

Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторной выборке.

Пример 2. Используя данные предыдущей задачи, требуется ответить, каким должен быть объем выборочной совокупности при условии, что: 1) предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производ­ственных фондов (с вероятностью 0,997) была бы не более 0,5 млн. руб.; 2) то же при вероятности 0,954; 3) предельная ошибка доли (с вероятностью 0,954) была бы не более 15%.

Решение. Для нахождения численности случайной и механической выборок имеются следующие четыре формулы:

Повторный отбор Бесповторный отбор

(5); (6);

ошибки доли признака

(7); (8).

1) Известно, что N = 500; = 0,5 млн. руб.;  2 = 3,13; Р = 0,997; t = 3.

Найдем объем выборки для расчета ошибки средней:

при повторном отборе (по формуле 5) –

заводов;

при бесповторном отборе (по формуле 6) –

завода.

2) Известно, что N = 500; = 0,5 млн. руб.;  2 = 3,13; Р = 0,954; t = 2.

Определим объем выборки при бесповторном отборе (по формуле 6):

завода.

3) Известно, что N = 500; = 0,5 млн. руб.; ω = 0,66; Р = 0,954; t = 2.

Объем выборки для расчета ошибки доли будет: при повторном отборе (по формуле 7) –

заводов;

при бесповторном отборе (по формуле 8) –

заводов.

Выводы: 1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку; 2) численность выборки уменьшится, если при прочих рав­ных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях увеличить предельную ошибку.

Пример 3. На заводе 1000 рабочих вырабатывают одноименную продукцию. Из них со стажем работы до пяти лет трудятся 400 чел., а более пяти лет – 600 чел. Для изучения среднегодовой выработки и установления доли квалифицированных рабочих проведена 10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности рабочих по указанным группам (внутри групп применялся случайный метод отбора).

На основе обследования получены следующие данные:

Группы рабочих со стажем работы

Общая численность рабочих, чел., N

Число обследованных рабочих, чел., п

Средне­дневная выработка, шт.,

Дисперсия выработки, Число

Число рабочих в выработке, чел., m

Доля рабочих,

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector