Сила взаимодействия двух шаров

Сила взаимодействия двух шаров

О законе сухого трения см. Закон Амонтона — Кулона

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

Зако́н Куло́на — физический закон, описывающий силу взаимодействия между неподвижными точечными электрическими зарядами в зависимости от расстояния между ними.

Содержание

Формулировки [ править | править код ]

Был открыт Шарлем Кулоном в 1785 г. Проведя большое количество опытов с металлическими шариками, Шарль Кулон дал такую формулировку закона:

Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она является силой притяжения, если знаки зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы.

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

  1. Точечность зарядов, то есть расстояние между заряженными телами должно быть много больше их размеров. Впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;
  2. Их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;
  3. Расположение зарядов в вакууме.

Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов [2] .

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

F → 12 = k ⋅ q 1 ⋅ q 2 r 12 2 ⋅ r → 12 r 12 , <displaystyle <vec >_<12>=kcdot <frac <1>cdot q_<2>><12>^<2>>>cdot <frac <<vec >_<12>><12>>>,>

где F → 12 <displaystyle <vec >_<12>> — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; q 1 , q 2 <displaystyle q_<1>,q_<2>> — величина зарядов; r → 12 <displaystyle <vec >_<12>> — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — r 12 <displaystyle r_<12>> ); k <displaystyle k> — коэффициент пропорциональности.

Закон Кулона совершенно аналогичен по форме закону всемирного тяготения. При этом роль тяжёлых масс играют электрические заряды [3] .

Коэффициент k <displaystyle k> [ править | править код ]

В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент k <displaystyle k> равен единице.

В Международной системе единиц (СИ) одной из основных единиц является единица силы электрического тока — ампер, а единица заряда — кулон — производная от него. Величина ампера определена таким образом, что k = c 2 ·10 −7 Гн/м = 8,9875517873681764⋅10 9 Н·м 2 /Кл 2 (или Ф −1 ·м). В СИ коэффициент k записывается в виде:

k = 1 4 π ε 0 , <displaystyle k=<frac <1><4pi varepsilon _<0>>>,>

где ε 0 <displaystyle varepsilon _<0>> ≈ 8,85418781762⋅10 −12 Ф/м — электрическая постоянная.

В среде, заполненной бесконечным однородным изотропным диэлектрическим веществом (на практике — для зарядов, погруженных в непроводящую жидкость при не очень больших напряжённостях поля) в знаменатель формулы добавляется диэлектрическая проницаемость среды ε.

k = 1 ε . <displaystyle k=<frac <1><varepsilon >>.>

k = 1 4 π ε ε 0 . <displaystyle k=<frac <1><4pi varepsilon varepsilon _<0>>>.>

Закон Кулона в квантовой механике [ править | править код ]

В квантовой механике закон Кулона формулируется не при помощи понятия силы, как в классической механике, а при помощи понятия потенциальной энергии кулоновского взаимодействия. В случае, когда рассматриваемая в квантовой механике система содержит электрически заряженные частицы, к оператору Гамильтона системы добавляются слагаемые, выражающие потенциальную энергию кулоновского взаимодействия, так, как она вычисляется в классической механике [4] . Это утверждение не следует из остальных аксиом квантовой механики, а получено путём обобщения опытных данных.

Так, оператор Гамильтона атома с зарядом ядра Z имеет вид:

Читайте также:  Сайт канон сканеры драйверы

j><frac <2>>>>.>"> H = − ℏ 2 2 m ∑ j ∇ j 2 − Z e 2 ∑ j 1 r j + ∑ i > j e 2 r i j . <displaystyle H=-<frac <hbar ^<2>><2m>>sum _
abla _
^<2>-Ze^<2>sum _<frac <1>>>+sum _j><frac
<2>>>>.> j><frac <2>>>>.>"/>

Здесь m — масса электрона, е — его заряд, r j <displaystyle r_> — абсолютная величина радиус-вектора j -го электрона r → j <displaystyle <vec >_> , а r i j = | r → i − r → j | <displaystyle r_=|<vec >_-<vec >_|> . Первое слагаемое выражает кинетическую энергию электронов, второе слагаемое — потенциальную энергию кулоновского взаимодействия электронов с ядром и третье слагаемое — потенциальную кулоновскую энергию взаимного отталкивания электронов. Суммирование в первом и втором слагаемом ведется по всем Z электронам. В третьем слагаемом суммирование идёт по всем парам электронов, причём каждая пара встречается однократно [5] .

Закон Кулона с точки зрения квантовой электродинамики [ править | править код ]

Согласно квантовой электродинамике, электромагнитное взаимодействие заряженных частиц осуществляется путём обмена виртуальными фотонами между частицами. Принцип неопределённости для времени и энергии допускает существование виртуальных фотонов на время между моментами их испускания и поглощения. Чем меньше расстояние между заряженными частицами, тем меньшее время нужно виртуальным фотонам для преодоления этого расстояния и следовательно, тем большая энергия виртуальных фотонов допускается принципом неопределенности. При малых расстояниях между зарядами принцип неопределённости допускает обмен как длинноволновыми, так и коротковолновыми фотонами, а при больших расстояниях в обмене участвуют только длинноволновые фотоны. Таким образом, с помощью квантовой электродинамики можно вывести закон Кулона [6] [7] .

История [ править | править код ]

Впервые исследовать экспериментально закон взаимодействия электрически заряженных тел предложил [8] Г. В. Рихман в 1752—1753 гг. Он намеревался использовать для этого сконструированный им электрометр-«указатель». Осуществлению этого плана помешала трагическая гибель Рихмана.

В 1759 г. профессор физики Санкт-Петербургской академии наук Ф. Эпинус, занявший кафедру Рихмана после его гибели, впервые предположил [9] , что заряды должны взаимодействовать обратно пропорционально квадрату расстояния. В 1760 г. появилось краткое сообщение [10] о том, что Д. Бернулли в Базеле установил квадратичный закон с помощью сконструированного им электрометра. В 1767 г. Пристли в своей «Истории электричества» [11] отметил, что опыт Франклина, обнаружившего отсутствие электрического поля внутри заряженного металлического шара, может означать, что «сила электрического притяжения подчиняется тем же законам, что и сила тяжести, а следовательно, зависит от квадрата расстояния между зарядами» [12] . Шотландский физик Джон Робисон утверждал (1822), что в 1769 г. обнаружил, что шары с одинаковым электрическим зарядом отталкиваются с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, и таким образом предвосхитил открытие закона Кулона (1785) [13] .

Примерно за 11 лет до Кулона, в 1771 г., закон взаимодействия зарядов был экспериментально открыт Г. Кавендишем, однако результат не был опубликован и долгое время (свыше 100 лет) оставался неизвестным. Рукописи Кавендиша были вручены Д. К. Максвеллу лишь в 1874 г одним из потомков Кавендиша на торжественном открытии Кавендишской лаборатории и опубликованы в 1879 г. [14] .

Сам Кулон занимался исследованием кручения нитей и изобрел крутильные весы. Он открыл свой закон, измеряя с помощью них силы взаимодействия заряженных шариков.

Закон Кулона, принцип суперпозиции и уравнения Максвелла [ править | править код ]

Закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей полностью равносильны уравнениям Максвелла для электростатики d i v D = 4 π ρ <displaystyle mathrm

D=4pi
ho > и r o t E = 0. <displaystyle mathrm E=0.> То есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики и, наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются тогда и только тогда, когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей [15] .

Читайте также:  Средство для удаления тополиных почек

Степень точности закона Кулона [ править | править код ]

Закон Кулона — экспериментально установленный факт. Его справедливость неоднократно подтверждалась всё более точными экспериментами. Одним из направлений таких экспериментов является проверка того, отличается ли показатель степени r в законе от 2. Для поиска этого отличия используется тот факт, что если степень точно равна двум, то поле внутри полости в проводнике отсутствует, какова бы ни была форма полости или проводника [16] .

Такие опыты впервые провел Кавендиш и повторил Максвелл в усовершенствованном виде, получив для максимального отличия показателя в степени от двух величину 1 21600 <displaystyle <frac <1><21600>>> [17] .

Эксперименты, проведённые в 1971 г. в США Э. Р. Уильямсом, Д. Е. Фоллером и Г. А. Хиллом, показали, что показатель степени в законе Кулона равен 2 с точностью до ( 3 , 1 ± 2 , 7 ) × 10 − 16 <displaystyle (3,1pm 2,7) imes 10^<-16>> [18] .

Для проверки точности закона Кулона на внутриатомных расстояниях У. Ю. Лэмбом и Р. Резерфордом в 1947 г. были использованы измерения относительного расположения уровней энергии водорода. Было установлено, что и на расстояниях порядка атомных 10 −8 см, показатель степени в законе Кулона отличается от 2 не более чем на 10 −9 [19] [20] .

Коэффициент k <displaystyle k> в законе Кулона остается постоянным с точностью до 15⋅10 −6 [20] .

Поправки к закону Кулона в квантовой электродинамике [ править | править код ]

λ e = ℏ m e c ≈ 3 , 86 ⋅ 10 − 13 <displaystyle lambda _=<frac <hbar >c>>approx 3<,>86cdot 10^<-13>> м [21] ,

где m e <displaystyle m_> — масса электрона, ℏ <displaystyle hbar > — постоянная Планка, c <displaystyle c> — скорость света) становятся существенными нелинейные эффекты квантовой электродинамики: на обмен виртуальными фотонами накладывается генерация виртуальных электрон-позитронных (а также мюон-антимюонных и таон-антитаонных) пар, а также уменьшается влияние экранирования (см. перенормировка). Оба эффекта ведут к появлению экспоненциально убывающих членов порядка e − 2 r / λ e <displaystyle e^<-2r/lambda _>> в выражении для потенциальной энергии взаимодействия зарядов и, как результат, к увеличению силы взаимодействия по сравнению с вычисляемой по закону Кулона.

Например, выражение для потенциала точечного заряда Q <displaystyle Q> в системе СГС, с учётом радиационных поправок первого порядка, принимает вид [22] :

Φ ( r ) = Q r ⋅ ( 1 + α 4 π e − 2 r / λ e ( r / λ e ) 3 / 2 ) , <displaystyle Phi (r)=<frac >cdot left(1+<frac <alpha ><4<sqrt <pi >>>><frac >><(r/lambda _)^<3/2>>>
ight),>

где λ e <displaystyle lambda _> — комптоновская длина волны электрона, α = e 2 ℏ c <displaystyle alpha =<frac <2>><hbar c>>> — постоянная тонкой структуры и r ≫ λ e <displaystyle rgg lambda _> .

На расстояниях порядка λ W = ℏ m w c ∼ <displaystyle lambda _=<frac <hbar >c>>sim > 10 −18 м, где m w <displaystyle m_> — масса W-бозона, в игру вступают уже электрослабые эффекты.

В сильных внешних электромагнитных полях, составляющих заметную долю от поля пробоя вакуума (порядка m e c 2 e λ e ∼ <displaystyle <frac c^<2>>>>sim > 10 18 В/м или m e c e λ e ∼ <displaystyle <frac c>>>sim > 10 9 Тл, такие поля наблюдаются, например, вблизи некоторых типов нейтронных звёзд, а именно магнитаров) закон Кулона также нарушается в силу дельбрюковского рассеяния обменных фотонов на фотонах внешнего поля и других, более сложных нелинейных эффектов. Это явление уменьшает кулоновскую силу не только в микро-, но и в макромасштабах, в частности, в сильном магнитном поле кулоновский потенциал падает не обратно пропорционально расстоянию, а экспоненциально [23] .

Закон Кулона и поляризация вакуума [ править | править код ]

Явление поляризации вакуума в квантовой электродинамике заключается в образовании виртуальных электронно-позитронных пар. Облако электронно-позитронных пар экранирует электрический заряд электрона. Экранировка растет с ростом расстояния от электрона, в результате эффективный электрический заряд электрона e e <displaystyle e_> является убывающей функцией расстояния e e = e e ( r ) <displaystyle e_=e_(r)> [24] . Эффективный потенциал, создаваемый электроном с электрическим зарядом e <displaystyle e> , можно описать зависимостью вида e e ( r ) / r <displaystyle e_(r)/r> . Эффективный заряд e e ( r ) <displaystyle e_(r)> зависит от расстояния r <displaystyle r> по логарифмическому закону:

Читайте также:  Интересные сайты для общения

e e ( r ) e = 1 + 2 α 3 π ln ⁡ r e r + … , <displaystyle <frac (r)>>=1+<frac <2alpha ><3pi >>ln <frac >>+dots ,>

α = e 2 4 π ε 0 ℏ c ≈ 7.3 ⋅ 10 − 3 <displaystyle alpha =<frac <2>><4pi varepsilon _<0>hbar c>>approx 7.3cdot 10^<-3>> — постоянная тонкой структуры; r e = e 2 4 π ε 0 c 2 m e ≈ 2.8 ⋅ 10 − 13 <displaystyle r_=<frac <2>><4pi varepsilon _<0>c^<2>m_>>approx 2.8cdot 10^<-13>> см — классический радиус электрона [25] [26] .

Эффект Юлинга [ править | править код ]

Явление отклонения электростатического потенциала точечных зарядов в вакууме от значения закона Кулона известно как эффект Юлинга, который впервые вычислил отклонения от закона Кулона для атома водорода. Эффект Юлинга даёт поправку к лэмбовскому сдвигу 27 МГц [27] [28] .

Закон Кулона и сверхтяжёлые ядра [ править | править код ]

В сильном электромагнитном поле вблизи сверхтяжёлых ядер с зарядом 170>"> Z > 170 <displaystyle Z>170> 170"/> осуществляется перестройка вакуума, аналогичная обычному фазовому переходу. Это приводит к поправкам к закону Кулона [29] .

Значение закона Кулона в истории науки [ править | править код ]

Закон Кулона является первым открытым количественным и сформулированным на математическом языке фундаментальным законом для электромагнитных явлений. С открытия закона Кулона началась современная наука об электромагнетизме [30] .

Так как шары проводящие, а заряды разноименные то избыточные заряды скопятся на ближних друг к другу сторонах шаров.
Поэтому сила взаимодействия шаров будет больше чем точечных зарядов.

Если зазор намного больше размеров шаров, то этот эффект не будет заметным.
___
Более того, если заряд одного шара равен нулю, то он все равно будет притягиваться к другому.
И даже если один из шаров будет заряжен сильно, а второй будет иметь небольшой заряд того же знака, то вдали они будут отталкиваться, но при приближении на достаточно малое расстояние они начнут притягиваться.

Расстояние между двумя точечными электрическими зарядами уменьшили в 3 раза, а один из зарядов увеличили в 3 раза. Силы взаимодействия между ними

1) не изменились

2) уменьшились в 3 раза

3) увеличились в 3 раза

4) увеличились в 27 раз

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия электрических зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: Таким образом, уменьшение расстояния между зарядами в 3 раза и увеличение одного из них в 3 раза приведет к увеличению силы взаимодействия в 27 раз.

Точечный положительный заряд q помещен между разноименно заряженными шариками (см. рисунок).

Куда направлена равнодействующая кулоновских сил, действующих на заряд q?

1)

2)

3)

4)

Одноименно заряженные тела отталкиваются, разноименно заряженные — притягиваются. Следовательно, правый шарик притягивает заряд q, а левый — отталкивает. По закону Кулона сила взаимодействия направлена вдоль линии, соединяющей заряды. Так как все три заряженных тела расположены на одной прямой, то обе силы Кулона сонаправлены. Правильное направление равнодействующей кулоновских сил указано в пункте 1.

Модуль силы взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами равен F. Чему станет равен модуль этой силы, если увеличить заряд одного тела в 3 раза, а второго — в 2 раза?

1)

2)

3)

4)

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия точечных электрических зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов: При увеличении заряда одного тела в 3 раза, а заряда второго — в 2 раза модуль силы взаимодействия станет равен

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector