Сюръективные инъективные и биективные функции примеры

Сюръективные инъективные и биективные функции примеры

Сюръе́кция (от фр. sur «на, над» + лат. jacio «бросаю»), сюръективное отображение — отображение множества X <displaystyle X> на множество Y <displaystyle Y> ( f : X → Y ) <displaystyle (fcolon X o Y)> , при котором каждый элемент множества Y <displaystyle Y> является образом хотя бы одного элемента множества X <displaystyle X> , то есть ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : y = f ( x ) <displaystyle forall yin Yexists xin X:y=f(x)> , иными словами — функция, принимающая все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение f : X → Y <displaystyle fcolon X o Y> отображает X <displaystyle X> на Y <displaystyle Y> (в противоположность инъективному отображению, которое отображает X <displaystyle X> в Y <displaystyle Y> ).

Понятие сюръекции (наряду с инъекцией и биекцией) введено в обиход в трудах Бурбаки и получило всеобщее распространение практически во всех разделах математики.

Отображение f : X → Y <displaystyle fcolon X o Y> сюръективно тогда и только тогда, когда образ множества X <displaystyle X> при отображении f <displaystyle f> совпадает с Y <displaystyle Y> : f ( X ) = Y <displaystyle f(X)=Y> . Также сюръективность функции f <displaystyle f> эквивалентна существованию правого обратного отображения, то есть такого отображения g : Y → X <displaystyle gcolon Y o X> , что f ( g ( y ) ) = y <displaystyle f(g(y))=y> для любого y ∈ Y <displaystyle yin Y> (в функциональных обозначениях — f ∘ g = I d Y <displaystyle fcirc g=mathbf _> ).

  • f : R → [ − 1 ; 1 ] , f ( x ) = sin ⁡ x <displaystyle fcolon mathbb o [-1;;1],;f(x)=sin x>— сюръективно.
  • f : R → R + , f ( x ) = x 2 <displaystyle fcolon mathbb o mathbb _<+>,;f(x)=x^<2>>— сюръективно.
  • f : R → R , f ( x ) = x 2 <displaystyle fcolon mathbb o mathbb ,;f(x)=x^<2>>— не является сюръективным (например, не существует такого x ∈ R <displaystyle xin mathbb >, что f ( x ) = − 9 <displaystyle f(x)=-9>).

В топологии важное понятие расслоения определяется как произвольное непрерывное сюръективное отображение топологических пространств (расслоённого пространства в базу расслоения).

Организация связи «многие к одному» между таблицами в сущностях реляционной модели данных — также может быть рассмотрена как сюръективная функция.

В теории категории понятие сюръекции обобщено в понятии эпиморфизма, притом во многих категориях эти понятия совпадают, но в общем случае это не так.

функция
хе ( х )
Примеры по области и области значений
Икс B , В X , В п В
Икс Z , Z Икс
Икс R , р X , R п Икс
Икс C , С X , С п Икс
Классы / свойства Константа · Идентичность · Линейный · полиномиальной · Рациональное · Алгебраическое · Аналитическое · Гладкая · Непрерывный · Измеримый · Инъективные · Сюръективная · Биективные конструкции Ограничение · Состав · λ · Обратные Обобщения Частичное · многозначных · Неявные

В математике , инъективны функции или инъекции или один-к-одному функция является функцией , которая сохраняет отчетливость : он никогда не отображает различные элементы своей области к тому же элементу его области значений . Другими слова, каждый элемент области значений функции является изображением из не более одного элемента своей области. Термин функцию один к одному , не следует путать с взаимно-однозначным соответствием (акой биективна функцией ), которая однозначно отображает все элементы в оба области и области значений друг с другом (см рисунков).

Инъективны не- Сюръекция (инъекции, а не биекция )

Не-инъективна Сюръекция ( сюръекция , не биекция )

Не-инъективна несюръективная функция (также не биекция )

Иногда инъективная функция из X в Y обозначается F : XY , используя стрелу с колючим хвостом ( U + 21A3 ↣ стрелком вправо с хвостом ). Множество инъективных функций из X в Y может обозначать Y X с использованием обозначений , полученные из , который используется для падения факторных силы , так как, если Х и Y конечные множества с соответственно т и п элементами, числом инъекций от X к Y является п м (см двенадцатикратного путь ).

Читайте также:  Формула нумерации страниц в word

Функция е , не инъективными иногда называют многие-к-одному. Однако инъективная терминология также иногда используется для обозначения «однозначные», т.е. каждый аргумент сопоставляется более одного значения.

-Мономорфизм является обобщением инъективного функции в теории категорий .

содержание

Определение

Пусть F является функцией которого домен представляет собой набор X . Функция F называется инъективны при условии , что для всех в и б в X , всякий раз , когда F ( ) = п ( б ) , а затем через = Ь ; то есть, F ( ) = е ( б ) влечет а = Ь . Эквивалентно, если вб , то е ( ) ≠ F ( б ) .

∀ a , б ∈ Икс , е ( a ) знак равно е ( б ) ⇒ a знак равно б < Displaystyle FORALL а, Ь в X, ; ; F (A) = F (б) Rightarrow а = Ь>

которая логически эквивалентна контрапозиции ,

∀ a , б ∈ Икс , a ≠ б ⇒ е ( a ) ≠ е ( б ) < Displaystyle FORALL а, Ь в X, ; ; а NEQ б Rightarrow е (а) NEQ F (B)>

Примеры

  • Для любого множества X и любого подмножества S из Xотображение включенияSX (который посылает любой элемент s из S к себе) инъективна. В частности, функция тождестваXX всегда инъективно (и на самом деле Биективные).
  • Если область X = ∅ или X имеет только один элемент, функция XY всегда инъективна.
  • Функция F : RR определяется F ( х ) = 2 х + 1 инъективна.
  • Функция г : RR определяется г ( х ) = х 2 является не инъективно, потому что (к примеру) г (1) = 1 = г (-1) . Однако, если г переопределяется так , что его область является неотрицательными вещественными числами [0, + ∞), то г инъективен.
  • Экспоненциальная функция ехр: RR определяется ехром ( х ) = ех инъективен (но не сюръективен как никаких карт реальной ценности отрицательного числа).
  • Натуральный логарифм функция LN: (0, ∞) → R определяется й ↦ пер й инъективен.
  • Функция г : RR определяется г ( х ) = хпй не инъективен, так как , например, г (0) = г (1) = 0 .

В более общем плане , когда Х и Y являются как реальная линия Р , то инъективная функция F : RR является графиком которого никогда не пересекается любой горизонтальной линии более чем один раз. Этот принцип упоминается как тест горизонтальной линии .

Инъекции могут быть отменены

Функции с левой обратными всегда инъекции. То есть, учитывая п : XY , если существует функция г : YX , такие , что для любого хХ ,

то е инъективно. В этом случае, например , называется втягивание из F . С другой стороны , е называется раздел о г .

С другой стороны , каждая инъекция е с непустой областью имеет левый обратный г , которая может быть определена путем фиксации элемента а , в области F так , что г ( х ) равна уникальный прообраз х при е , если она существует , и г ( х ) = в противном случае.

Левый обратный г не обязательно является обратным из F , так как композиция в другом порядке, ег , может отличаться от идентичности на Y . Другими слова, инъективная функция может быть «отменена» по левым инверсиям, но не обязательно обратит , который требует , чтобы функция биективна .

Читайте также:  Диск из динамического в основной

Инъекции могут быть обратимы

На самом деле, чтобы повернуть инъективную функцию F : XY в биективном (отсюда обратим ) функции, достаточно заменить его кообласть Y от его фактического диапазона J = F ( X ) . То есть, пусть г : ХJ такое , что г ( х ) = п ( х ) для всех х в X ; Затем г биективен. Действительно, F может быть пропущено , как вкл J , Yг , где включая J , Y является функцией включения из J в Y .

В более общем смысле , инъективные частичные функции называются частичными биекции .

Другие свойства

  • Если е и г оба инъективны, то ег инъективно.

  • Если ге инъективно, то е инъективна (но г не должно быть).
  • F : XY инъективен тогда и только тогда, учитывая любые функции г , ч : WХ каждый разкогда ег = еч , то г = ч . Другими словами, инъективными функции являются именно мономорфизмами в категорииНабор множеств.
  • Если F : XY инъективно и является подмножеством из X , то F -1 ( е ( )) = . Таким образом, может быть восстановлено из его образаF ( A ).
  • Если F : XY инъективно и и B оба являются подмножества X , то F ( ∩ B ) = F ( ) ∩ F ( B ) .
  • Каждая функция ч : WY можно разложить ч = ег для подходящего впрыска F и сюръекции г . Это разложение единственно с точностью до изоморфизма , и е можно рассматривать как функцию включения в диапазоне ч ( W ) в час , как подмножество области значений Y в час .
  • Если F : XY является инъективной функцией, то Y имеет по меньшей мере столько же элементы , как X , в смысле кардинальных чисел . В частности, если, кроме того, существует инъекция из Y F : XY инъективен тогда и только тогда , когда F является сюръективным (в этом случае е является взаимно однозначным ).
  • Инъективна функция , которая представляет собой гомоморфизм между двумя алгебраическими структурами является вложением .
  • В отличие от сюрьективности, который представляет собой отношение между графиком функции и ее области значений, приемистость является свойством графа только функции; то есть ли функция е инъективна может быть решен только с учетом графика (и не кообласть) от е .

Доказывая, что функции инъективны

Доказательство того, что функция е инъективно зависит от того, как представлена функция и какие свойства имеет функцию. Для функций, которые задаются по некоторой формуле есть основная идея. Мы используем контрапозицию из определения приемистости, а именно , что если е ( х ) = п ( у ) , то х = у .

Доказательство: Пусть F : XY . Пусть F ( х ) = F ( у ) . Таким образом , 2 х + 3 = 2 у + 3 ⇒ 2 х = 2 ух = у . Поэтому, как следует из определения , что е инъективна.

Есть множество других способов доказать , что функция инъективна. Например, в исчислении , если F является дифференцируемой функцией , определенной на некотором интервале, то достаточно , чтобы показать , что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если F есть линейное преобразование, достаточно , чтобы показать , что ядро F содержит только нулевой вектор. Если е есть функция с конечной областью достаточно посмотреть список изображений каждого элемента домена и убедитесь , что изображение не происходит дважды в списке.

Функция f от A до B является назначением ровно одного элемента B каждому элементу A (A и B — непустые множества). A называется областью f, а B называется областью f. Если b является уникальным элементом B, назначенным функцией f элементу a из A, он записывается как f (a) = b. f отображает A в B. означает, что f является функцией от A до B, это записывается как

Читайте также:  Флешка не открывается пишет отформатировать

Термины, связанные с функциями:

  • Домен и совместный домен — если f является функцией из набора A в набор B, то A называется Доменом, а B называется совместным доменом.
  • Range — Range of f — множество всех изображений элементов A. В основном Range — это подмножество co-domain.
  • Изображение и предварительное изображение — b является изображением a, а a является предварительным изображением b, если f (a) = b.

Свойства функции:

    Сложение и умножение: пусть f1 и f2 — две функции от A до B, тогда f1 + f2 и f1.f2 определены как:
    f1 + f2 (x) = f1 (x) + f2 (x). (Дополнение)
    f1f2 (x) = f1 (x) f2 (x). (Умножение)

  • Равенство: две функции равны только в том случае, если они имеют одинаковый домен, один и тот же домен и одни и те же элементы отображения из домена в один домен.
  • Типы функций:

      Функция «один к одному» (Injective): функция вызывается один к одному, если для всех элементов a и b в A, если f (a) = f (b), то это должен быть случай, когда a = b. Он никогда не отображает отдельные элементы своей области в один и тот же элемент своей совместной области .

    Мы можем выразить, что f один к одному, используя квантификаторы как или эквивалентно где вселенная дискурса является областью функции.

    На функцию (сюръективную): если каждому элементу b в B соответствует элемент a в A, такой что f (a) = b. Не требуется, чтобы а был уникальным; Функция f может отображать один или несколько элементов A в один и тот же элемент B.

    Функция соответствия один-к-одному (Bijective / Invertible): Функция — это Bijective-функция, если она является взаимно-однозначной и одной функцией.

  • Обратные функции: функция Bijection также известна как обратимая функция, потому что они имеют свойство обратной функции. Обратная биекция f обозначается как f -1 . Это функция, которая присваивает b уникальный элемент a такой, что f (a) = b. следовательно, f -1 (b) = a.
  • Некоторые полезные функции -:

    Строго возрастающие и строго убывающие функции: функция f строго возрастает, если f (x)> f (y), когда x> y. Функция f строго убывает, если f (x) y. Функция f уменьшается, если f (x) ≤ f (y), когда x -1 of = f -1 (f (a)) = f -1 (b) = a.

  • fof -1 = f (f -1 (b)) = f (a) = b.
  • Если f и g оба являются функцией один к одному, то туман также является функцией один к одному.
  • Если f и g оба включены, то туман также включен.
  • Если f и туман оба являются однозначными функциями, то g также однозначно.
  • Если f и туман на, то не обязательно, что g также на.
  • (туман) -1 = г -1 из -1
  • Некоторые важные моменты:

    1. Функция является однозначной, если она либо строго увеличивается, либо строго уменьшается.
    2. Функция «один к одному» никогда не присваивает одно и то же значение двум различным элементам домена.
    3. Для функции on диапазон и совмещенный домен равны.
    4. Если функция f не является биективной, обратная функция от f не может быть определена.

    Эта статья предоставлена Нитика Бансал

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock detector