Таблица степеней десятичных дробей

Таблица степеней десятичных дробей

Таблица степеней чисел с 1 до 10. Калькулятор степеней онлайн. Интерактивная таблица и изображения таблицы степеней в высоком качестве.

Калькулятор степеней

С помощью данного калькулятора вы сможете в режиме онлайн вычислить степень любого натурального числа. Введите число, степень и нажмите кнопку «вычислить».

Таблица степеней от 1 до 10

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 n 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
4 n 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576
5 n 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625
6 n 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176
7 n 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 282475249
8 n 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824
9 n 9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401
10 n 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000

Таблица степеней от 1 до 10

7 10 = 282475249

8 10 = 1073741824

9 10 = 3486784401

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

10 10 = 10000000000

Теория

Степень числа – это сокращенная запись операции многократного умножения числа самого на себя. Само число в данном случае называется — основанием степени, а количество операций умножения — показателем степени.

запись читается: «a» в степени «n».

«a» — основание степени

«n» — показатель степени

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Данное выражение читается: 4 в степени 6 или шестая степень числа четыре или возвести число четыре в шестую степень.

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0 , 5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени ( 0 , 5 ) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Читайте также:  Формат псд что это

Условие: возведите — 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: ( − 2 ) 4 = ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ ( 3 , 14 ) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ ( 3 , 14159 ) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени ( ln 6 ) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, ( − 9 ) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , ( — 2 , 56 ) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 — не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Возведите 2 в степень — 3 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3

Читайте также:  Изменить чувствительность микрофона на андроид

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8 : 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень — 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло ( 1 , 43 ) — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: ( 1 , 43 ) — 2 = 10000 20449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 — 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2

После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадрат: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную — значения не имеет: 0 — 4 3 .

Читайте также:  Утилита для разгона видеокарты nvidia gigabyte

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367.

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

1 1 =1

1 2 =1

1 3 =1

1 4 =1

1 5 =1

1 6 =1

1 7 =1

1 8 =1

1 9 =1

1 10 =1

2 1 =2

2 2 =4

2 3 =8

2 4 =16

2 5 =32

2 6 =64

2 7 =128

2 8 =256

2 9 =512

2 10 =1024

3 1 =3

3 2 =9

3 3 =27

3 4 =81

3 5 =243

3 6 =729

3 7 =2187

3 8 =6561

3 9 =19683

3 10 =59049

4 1 =4

4 2 =16

4 3 =64

4 4 =256

4 5 =1024

4 6 =4096

4 7 =16384

4 8 =65536

4 9 =262144

4 10 =1048576

5 1 =5

5 2 =25

5 3 =125

5 4 =625

5 5 =3125

5 6 =15625

5 7 =78125

5 8 =390625

5 9 =1953125

5 10 =9765625

6 1 =6

6 2 =36

6 3 =216

6 4 =1296

6 5 =7776

6 6 =46656

6 7 =279936

6 8 =1679616

6 9 =10077696

6 10 =60466176

7 1 =7

7 2 =49

7 3 =343

7 4 =2401

7 5 =16807

7 6 =117649

7 7 =823543

7 8 =5764801

7 9 =40353607

7 10 =282475249

8 1 =8

8 2 =64

8 3 =512

8 4 =4096

8 5 =32768

8 6 =262144

8 7 =2097152

8 8 =16777216

8 9 =134217728

8 10 =1073741824

9 1 =9

9 2 =81

9 3 =729

9 4 =6561

9 5 =59049

9 6 =531441

9 7 =4782969

9 8 =43046721

9 9 =387420489

9 10 =3486784401

10 1 =10

10 2 =100

10 3 =1000

10 4 =10000

10 5 =100000

10 6 =1000000

10 7 =10000000

10 8 =100000000

10 9 =1000000000

10 10 =10000000000

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 n 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
4 n 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576
5 n 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625
6 n 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176
7 n 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 282475249
8 n 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824
9 n 9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401
10 n 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000

Таблица степеней

В таблице степеней содержатся значения натуральных положительных чисел от 1 до 10.

Запись 3 5 читают "три в пятой степени". В этой записи число 3 называют основанием степени, число 5 показателем степени, выражение 3 5 называют степенью.

Показатель степени указывает сколько множителей в произведение, 3 5 =3×3×3×3×3=243

Чтобы скачать таблицу степеней нажмите на уменьшенное изображение.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector