Точка лежит в плоскости обозначение

Точка лежит в плоскости обозначение

В планиметрии плоскость является одной из основных фигур, поэтому, очень важно иметь ясное представление о ней. Эта статья создана с целью раскрытия этой темы. Сначала дано понятие плоскости, ее графическое представление и показаны обозначения плоскостей. Далее плоскость рассматривается вместе с точкой, прямой или другой плоскостью, при этом возникают варианты из взаимного расположения в пространстве. Во втором и третьем и четвертом пункте статьи как раз разобраны все варианты взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости, а также точки и плоскости, приведены основные аксиомы и графические иллюстрации. В заключении даны основные способы задания плоскости в пространстве.

Навигация по странице.

Плоскость – основные понятия, обозначения и изображение.

Простейшими и основными геометрическими фигурами в трехмерном пространстве являются точка, прямая и плоскость. Мы уже имеем представление о точке и прямой на плоскости. Если поместить плоскость, на которой изображены точки и прямые, в трехмерное пространство, то мы получим точки и прямые в пространстве. Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.

Точки и прямые в пространстве обозначаются также как и на плоскости – большими и маленькими латинскими буквами соответственно. Например, точки А и Q , прямые а и d . Если заданы две точки, лежащие на прямой, то прямую можно обозначить двумя буквами, соответствующими этим точкам. К примеру, прямая АВ или ВА проходит через точки А и В . Плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами, например, плоскости , или .

При решении задач возникает необходимость изображать плоскости на чертеже. Плоскость обычно изображают в виде параллелограмма или произвольной простой замкнутой области.

Плоскость обычно рассматривается вместе с точками, прямыми или другими плоскостями, при этом возникают различные варианты их взаимного расположения. Переходим к их описанию.

Взаимное расположение плоскости и точки.

Начнем с аксиомы: в каждой плоскости имеются точки. Из нее следует первый вариант взаимного расположения плоскости и точки – точка может принадлежать плоскости. Другими словами, плоскость может проходить через точку. Для обозначения принадлежности какой-либо точки какой-либо плоскости используют символ «». Например, если плоскость проходит через точку А , то можно кратко записать .

Следует понимать, что на заданной плоскости в пространстве имеется бесконечно много точек.

Следующая аксиома показывает, сколько точек в пространстве необходимо отметить, чтобы они определяли конкретную плоскость: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна. Если известны три точки, лежащие в плоскости, то плоскость можно обозначить тремя буквами, соответствующими этим точкам. Например, если плоскость проходит через точки А , В и С , то ее можно обозначить АВС .

Сформулируем еще одну аксиому, которая дает второй вариант взаимного расположения плоскости и точки: имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Итак, точка пространства может не принадлежать плоскости. Действительно, в силу предыдущей аксиомы через три точки пространства проходит плоскость, а четвертая точка может как лежать на этой плоскости, так и не лежать. При краткой записи используют символ «», который равносилен фразе «не принадлежит».

К примеру, если точка А не лежит в плоскости , то используют краткую запись .

Прямая и плоскость в пространстве.

Во-первых, прямая может лежать в плоскости. В этом случае, в плоскости лежат хотя бы две точки этой прямой. Это устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. Для краткой записи принадлежности некоторой прямой данной плоскости пользуются символом «». Например, запись означает, что прямая а лежит в плоскости .

Во-вторых, прямая может пересекать плоскость. При этом прямая и плоскость имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. При краткой записи пересечение обозначаю символом «». К примеру, запись означает, что прямая а пересекает плоскость в точке М . При пересечении плоскости некоторой прямой возникает понятие угла между прямой и плоскостью.

Отдельно стоит остановиться на прямой, которая пересекает плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Такую прямую называют перпендикулярной к плоскости. Для краткой записи перпендикулярности используют симовл «». Для более глубокого изучения материала можете обратиться к статье перпендикулярность прямой и плоскости.

Особую значимость при решении задач, связанных с плоскостью, имеет так называемый нормальный вектор плоскости. Нормальным вектором плоскости является любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

Читайте также:  Яндексе историю искать в яндексе

В-третьих, прямая может быть параллельна плоскости, то есть, не иметь в ней общих точек. При краткой записи параллельности используют символ «». Например, если прямая а параллельна плоскости , то можно записать . Рекомендуем подробнее изучить этот случай, обратившись к статье параллельность прямой и плоскости.

Следует сказать, что прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две полуплоскости. Прямая в этом случае называется границей полуплоскостей. Любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой, а две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от граничной прямой.

Взаимное расположение плоскостей.

Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.

Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями. Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными. О них мы поговорили в статье перпендикулярность плоскостей.

Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек. Рекомендуем ознакомиться со статьей параллельность плоскостей, чтобы получить полное представление об этом варианте взаимного расположения плоскостей.

Также интересны случаи, когда несколько плоскостей пересекаются по одной прямой и несколько плоскостей пересекаются в одной точке. О таком взаимном расположении плоскостей смотрите статьи пучок плоскостей и связка плоскостей.

Способы задания плоскости.

Сейчас мы перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве.

Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки:

  • через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна (смотрите также статью уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку);
  • через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (рекомендуем ознакомиться с материалом статьи уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).

Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых. Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат.

Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

Признак параллельности двух плоскостей дает нам еще один способ задания плоскости. Вспомним формулировку этого признака: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Следовательно, мы можем задать конкретную плоскость, если укажем точку, через которую она проходит и плоскость, которой она параллельна.

В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать общее уравнение плоскости.

На этом завершаем обзор основных способов, с помощью которых определяется конкретная плоскость пространства.

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

Читайте также:  Cam модуль для телевизора без абонентской платы

группа I — обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, . , L, М, N, .

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

а, b, с, d, . , l, m, n, .

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f— фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) — прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) — луч с началом в точке А;

[АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) — плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

β(d1 d2gα) — поверхность β определяется направляющими d1 и d2 , образующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:

∠ABC — угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, . , ∠φ°, .

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

— величина угла АВС;

— величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — ||.

|АВ| — расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| — расстояние от точки А до линии a;

|Аα| — расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| — расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π1 и π2, где π1 — горизонтальная плоскость проекций;

π2 —фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π3, π4 и т. д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х — ось абсцисс; у — ось ординат; z — ось аппликат.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

А’, В’, С’, D’, . , L’, М’, N’, горизонтальные проекции точек; А", В", С", D", . , L", М", N", . фронтальные проекции точек; a’ , b’ , c’ , d’ , . , l’, m’ , n’ , — горизонтальные проекции линий; а" ,b" , с" , d" , . , l" , m" , n" , . фронтальные проекции линий; α’, β’, γ’, δ’. ζ’,η’,ν’. горизонтальные проекции поверхностей; α", β", γ", δ". ζ",η",ν". фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса , подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

Так: h — горизонтальный след плоскости (поверхности) α;

f — фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: Ha — горизонтальный след прямой (линии) а;

Fa — фронтальный след прямой (линии ) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1,2,3. n:

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом :

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0 :

А 0 , В 0 , С 0 , D 0 , .

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , .

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , .

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , .

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1 :

А 1 0 , В 1 0 , С 1 0 , D 1 0 , .

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , .

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , .

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , .

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между геометрическими фигурами, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем используются символьные обозначения.

Читайте также:  Как зарядить фотоаппарат nikon coolpix

Символьные обозначения, все их многообразие, может быть подразделено на две группы: — Первая группа — обозначения геометрических фигур и отношения между ними; — Вторая группа — обозначения логических операций, составляющая синтаксическую основу геометрического языка.

Символьные обозначения — Первая группа

Символы, обозначающие геометрические фигуры и отношения между ними

Обозначения геометрических фигур: Φ — геометрическая фигура; A, B, C, D, . L, M, N, . — точки расположенные в пространстве; 1, 2, 3, 4, . 12, 13, 14, . — точки расположенные в пространстве; a, b, c, d, . l, m, n, . — линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций; h, υ(f), ω — линии уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая соответственно); (AB) — прямая проходящая через точки A и B; [AB) — луч с началом в точке A; [AB] — отрезок прямой, ограниченный точками A и B; α, β, γ, δ, . ζ, η, θ — поверхность; ∠ABC — угол с вершиной в точке B; ∠α, ∠β, ∠γ — угол α, угол β, угол γ соответственно; |AB| — расстояние от точки A до точки B (длина отрезка AB); |Aa| — расстояние от точки A до линии a; |Aα| — расстояние от точки A до поверхности α; |ab| — расстояние между прямыми a и b; |αβ| — расстояние между поверхностями α и β; H, V, W — координатные плоскости проекций (именуемые как горизонтальная, фронтальная, профильная соответственно); П1, П2, П3 — координатные плоскости проекций (именуемые как горизонтальная, фронтальная, профильная соответственно); x, y, z — координатные оси проекций (ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат); ko — постоянная прямая эпюра Монжа; O — точка пересечения осей проекций; `, ", `" — верхние индексы для проекций точек, прямых, углов, фигур, поверхностей на плоскости проекций (именуемые как горизонтальную, фронтальную, профильную соответственно); 1, 2, 3 — верхние индексы для проекций точек, прямых, углов, фигур, поверхностей на плоскости проекций (именуемые как горизонтальную, фронтальную, профильную соответственно); αH, αV, αW — след поверхности оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно; αH, αV, αW — след поверхности α оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно; aH, aV, aW — след прямой a оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно;

Проекции точек, линий, поверхностей любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса A`, A", A`" или 1`, 1", 1`", соответствующего плоскости проекции, на которой они получены: A`, B`, C`, D`, . L`, M`, N`, . — горизонтальные проекции точек; A", B", C", D", . L", M", N", . — фронтальные проекции точек; A`", B`", C`", D`", . L`", M`", N`", . — профильные проекции точек; a`, b`, c`, d`, . l`, m`, n`, . — горизонтальные проекции линий; a", b", c", d", . l", m", n", . — фронтальные проекции линий; a`", b`", c`", d`", . l`", m`", n`", . — профильные проекции линий; α`, β`, γ`, δ`, . ζ`, η`, θ`, . — горизонтальные проекции поверхностей; α", β", γ", δ", . ζ", η", θ", . — фронтальные проекции поверхностей; α`", β`", γ`", δ`", . ζ`", η`", θ`", . — профильные проекции поверхностей;

Символы взаиморасположения геометрических объектов

Обозначение Смысловое значение Пример символической записи
(. ) способ задания геометрического объекта в пространстве и на комплексном чертеже А(А`, А") – точка А задана на комплексном чертеже горизонтальной и фронтальной проекциями; α(А, b) – плоскость α задана прямой b и точкой А.
∈ ⊂ , ⊃ принадлежность А∈l – точка А принадлежит прямой l; l⊂α – прямая l лежит в плоскости α
совпадение А`≡ В` – горизонтальные проекции точек А и В совпадают.
‖ , // параллельность a // b – прямые a и b параллельны.
перпендикулярность c⊥d – прямые c и d перпендикулярны.
скрещивание m ∸ n – прямые m и n скрещивающиеся.
пересечение k ∩ l – прямые k и l пересекаются.
подобие ΔАВС

ΔDEF – треугольники ABC и DEF подобны.

≅ конгруэнтность ΔАВС ≅ /АВ/ = /CD/ – отрезки АВ и CD равны. = равенство, результат действия /АВ/ = /CD/ – длины отрезков AB и CD равны; k ∩ l = M — прямые k и l пересекаются в точке M. / отрицание А ∉ l – точка А не принадлежит прямой l. → ← отображение, преобразование V/H → V1/H– система ортогональных плоскостей V/H преобразуется в систему плоскостей V1/H

Символьные обозначения — Вторая группа

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector