Точное решение дифференциального уравнения

Точное решение дифференциального уравнения

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем. Разобраны наиболее известные методы Эйлера, Рунге-Кутта (разных порядков), приведено сравнение приближенных и точных решений, построены графики.

Решения задач на численное интегрирование дифференциальных уравнений онлайн

Задача 1.Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
на отрезке $[t_0, T]$ с шагом $h=0.2$ а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге.
Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.

Задача 2. Используя 1) метод Эйлера и 2) модифицированный метод Эйлера, найдите приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка $y’=f(x,y)$ удовлетворяющего начальным условиям $y(x_0)=y_0$ на отрезке $[a,b]$ с шагом $h=0.1$. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Задача 3. Численно решить задачу Коши для ОДУ 2-ого порядка методом Рунге-Кутта 4-го порядка. $$u»+e^x u’-(10+sin x )u+f=0, 0lt x lt 1$$ $$u(0)=0; u'(0)=50$$ $$f=50((11+sin x) sin x-e^x cos x). $$ Точное решение: $u=50 sin x, h=0.05, n=20$

Задача 4. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи с шагами $h_1=(b-a)/5$, $h_2=(b-a)/10$ и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений.

Решение дифференциальных уравнений

Решить онлайн дифференциальные уравнения — просто! Искусственный интеллект постоянно развивавется. Нашим специалистам удалось научить его решать различные математические задачи. Например, стали доступны такие раздеолы, как решение онлайн дифференциальных уравнений или производная функции онлайн.

На нашем сайте вы можете решить любое дифференциальное уравнение используя Калькулятор за пару секунд. Пользоваться калькулятором просто. Начальные условия вводите как обычные условия. Порядок не важен. Чтобы ввести условие, нажмите «+условие»

Нажав кнопку Решить вы получите подробное решение дифференциальных уравнений.

Что такое дифференциальные уравнения и как их решать

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение с производными функции или самой функцией, независимой переменной и параметрами. Чтобы научиться решать дифференциальное уравнение, нужно сначала разобраться с условными обозначениями. Производная функции обозначается символически “штрихом”. Производная функции второго порядка отображается соответственно двумя “штрихами” и так далее.

Читайте также:  Яндекс навигатор тихий звук

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной в уравнении.

Как решать дифференциальные уравнения

Решение дифференциального уравнения не будет таким же, как решение обыкновенного уравнения. Решением дифференциального уравнения будет функция или семейство функций. Производные могут входить в функцию в любом порядке и сами производные могут быть любого порядка. Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в ДУ в различных комбинациях или же могут вовсе отсутствовать. Однако в уравнение должна входить хотя бы одна производная, иначе оно бы не будет дифференциальным. Дифференциальным уравнением является не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции. К примеру, f'(x)=f(f(x)) не является дифференциальным уравнением, а просто обозначает производную от определённой функции.

При решении дифференциальных уравнений, в отличие от алгебраических уравнений, ищется не число или несколько чисел, а функция или семейство функций. Алгебраический смысл решения таковой: если вместо функций и производных всех порядков, подставить любую функцию из семейства её решений, то получится верное равенство.

ДУ выше первого порядка возможно преобразовать в систему уравнений первого порядка, где число уравнений равняется порядку исходного дифференциального уравнения. Таким образом дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему функций, состоящую из двух уравнений.

При решении такой задача, как дифференциальные уравнения важно помнить, что его решением будет именно семейство функций, так как если брать производную от константы, то она будет равняться нулю. А так как производная от константы равняется нулю, то в исходной функции может быть такое определённое решение данного дифференциального уравнения. Не все калькуляторы позволяют решить дифференциальные уравнения онлайн, а только самые “умные”. Ещё несколько лет назад решить дифференциальное уравнение с помощью калькулятора было невозможным.

Бесплатный онлайн калькулятор дифференциальных уравнений. Производная онлайн калькулятор.

Система дифференциальных уравнений, линейные дифференциальные уравнения или другое дифференциальное уравнение любой сложности будет решено нашим бесплатным решателем за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести данные уравнения в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить дифференциальное уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в онлайн чате на странице Калькулятора или в нашей группе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Читайте также:  Doctype html unexpected token

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Численное решение дифференциальных уравнений

Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом:

, где x – независимая переменная, — i-ая производная от искомой функции. n — порядок уравнения. Общее решение ОДУ n–го порядка содержит n произвольных постоянных , т.е. общее решение имеет вид .

Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.

Примеры постановки задачи Коши:

Примеры краевых задач:

Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений.

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка

на отрезке при условии

При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки промежутка [x, xn].

Целью является построение таблицы

т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.

Интегрируя уравнение на отрезке , получим

Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой–либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

Читайте также:  Диафрагма в телефоне какая лучше

,

то получим явную формулу Эйлера:

, .

Зная , находим , затем т.д.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера:

Пользуясь тем, что в точке x известно решение y(x) = y и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в точке :. При достаточно малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y(x1) решенияy(x) задачи Коши. Следовательно, точка пересечения касательной с прямой x = x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда (т.е. пересечение с прямой x = x2), получим приближенное значение y(x) в точке x2: и т.д. В итоге для i–й точки получим формулу Эйлера.

Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Если использовать формулу правых прямоугольников: , то придем к методу

, .

Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.

Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Модифицированный метод Эйлера: в данном методе вычисление состоит из двух этапов:

Данная схема называется еще методом предиктор – корректор (предсказывающее – исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.

Методы Рунге – Кутта: идея построения явных методов Рунге–Кутты p–го порядка заключается в получении приближений к значениям y(xi+1) по формуле вида

,

.

Здесь an, bnj, pn, – некоторые фиксированные числа (параметры).

При построения методов Рунге–Кутты параметры функции (an, bnj, pn) подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации.

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

Пример. Решить задачу Коши:

.

Рассмотреть три метода: явный метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, метод Рунге – Кутта.

Точное решение:

Расчетные формулы по явному методу Эйлера для данного примера:

Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector