У мамы два одинаковых апельсина

У мамы два одинаковых апельсина

Число перестановок c повторениями обозначают

Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы $n$. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом $k_1!$ способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют $k_2!$ перестановок элементов во второй группе и т. д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом $ k_1!*k_2!*. *k_m! $ способами так, что она остаётся неизменной.

Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно

Пример 1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем

Калькулятор длч вычисления числа перестановок с повторениями

Пример 2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

.

Пример 3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем

.

Пример 4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?

Читайте также:  Как добавить точку доступа на андроиде

Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим

.

Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.

1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?

Ответ: .

2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?

Ответ: .

4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?

Ответ: .

5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?

Ответ: .

6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?

Ответ: .

7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

Ответ: .

8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

Ответ: .

9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Читайте также:  Что значит триальный режим

Перестановки с повторениями.

Перестановкой с повторениями будем называть способ разместить на n местах n не обязательно различных элементов. Более подробно, если имеется n 1 элементов первого типа, n 2 элементов второго типа и т.д., причём n 1+ n 2+ n 3+…= n , то перестановка с повторениями есть способ расставить все эти n элементов в некотором порядке и обозначается P( n 1, n 2, n 3, …). Справедлива формула

№ 1. У мамы два одинаковых яблока, 3 одинаковых мандарина и 4 одинаковых апельсина. Каждый день в течении 9 дней подряд она выдаёт сыну по одному фрукту. Сколькими способами это можно сделать?

№ 2. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова 1) математика, 2) парабола, 3) ингредиент?

№ 3. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, 2-х слонов, две ладьи и два коня) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

Повторение. Остатки. Действия с остатками.

№ 4. Найдите остаток от деления 22х50 +44х10 на 3

№ 5. Найдите остаток от деления: 1) 2011х2012х2013 + 2013 3 на 7; 2) 9 100 на 8

№ 6. Найдите последнюю цифру числа 1989 1989

№ 7. Найдите остаток от деления 2222 5555 + 5555 2222

Решения и ответы к занятию 7.

№ 1. 9! : (2!х3!х4!)=1260 способов

№ 2. 1) В слове математика 10 букв, среди них «м»-2 буквы, «а»-3 буквы, «т» — три буквы, остальные различны. По определению перестановки с повторениями получим 10! : (2!х3!х2!), 2) в слове парабола 8 букв, из них «п» — 1, «а» -3, «р» — 1, «б» — 1, «о» — 1, «л»-1. 8! : 3!, 3) 10! : (2!х2!х2!)

№ 3. 8! : (2!х2!х2!) вариантов

№ 4. Вместо указанных чисел подставим в данное выражение их остатки при делении на 3, получим 1х2 + 2х1 = 4. Число 4 при делении на 3 даёт остаток 1.

Читайте также:  Программа для изучения русского языка

№ 5. 2х3х4 + 4х4х4=24 +64=88, 88:7 = 7х12 + 4(ост), 9:8=8х1+1(ост)

№ 6. Последняя цифра числа совпадает с его остатком при делении на 10. Число 1989 при делении на 10 дает остаток 9. 9 : 10=9х0+9(ост). 81:10=10х8+1(ост), 9х81:10=9х1:10=9(ост), нечётной степени 9 при делении на 10 даёт остаток 9. Значит число оканчивается цифрой 9.

№ 7. 2222:10=10х222+2(ост). При делении на десять 2 даёт остаток 2, 2х2 остаток 4, 2х2х2 остаток 8, 2х2х2х2 остаток 6, 2х2х2х2х2 остаток 2, и т.д. Начиная с этого места остатки будут повторяться по кругу – 2; 4; 8; 6; 2; 4; 8; 6;… Длина образовавшегося цикла равна 4, при этом 5555 при делении на 4 даёт остаток 3, значит, 2222 5555 при делении на 10 даёт остаток, равный третьему числу в цикле, то есть остаток 8. Найдём остаток от деления числа 5555 2222 на 10. Он совпадёт с остатком числа 5 2222 При

этом 5 любой степени при делении на 10 даёт остаток 5. Значит 5+8 =13, остаток равен 3.

У мамы 2 схожих апельсина, 3 одинаковых банана и 4 схожих ананаса. Каждый денек в течение 9 дней она выдавала дочери по одному плоду. Сколькими методами она могла это сделать, так чтобы фрукты не повторялись более 3-х раз подряд?

  • Булия Леня
  • Математика 2019-09-29 11:47:43 0 1

Ответ: В первый день мама могла дать хоть какой из фруктов. То есть максимум 3 варианта. Такое же количество вариантов будет сохраняться если мать будет давать дочери тот фрукт, количество которого преобдладает. 3 ананаса, 2 банана и 1 апельсин — 6 дней. На седьмой она также дает один из 3 плодов, но количество последующих вариантов понижается до 2. На восьмой денек она дает 1 из 2 фруков, а на девятый денек теснее заключительный оставшийся. Имеем:

3*3*3*3*3*3*3*2*1=4374 варианта

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector