Угол между нормальным и тангенциальным ускорением

Угол между нормальным и тангенциальным ускорением

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Физическая величина, которая определяет быстроту изменения скорости, называется ускорением. Математически ускорение определяется отношением изменения скорости к промежутку времени, за которое оно произошло (производная от скорости по времени):

Рис. 1. Тангенциальная и нормальная составляющие полного ускорения

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения величины (модуля) скорости. Тангенциальное ускорение всегда коллинеарно скорости.

1) Если тангенциальная составляющая ускорения сонаправлена со скоростью, то движение будет ускоренное (см. рис. 2).

Рис. 2. Тангенциальная составляющая ускорения сонаправлена со скоростью

2) Если тангенциальная составляющая ускорения противонаправлена скорости, то движение будет замедленным (см. рис. 3).

Рис. 3. Тангенциальная составляющая ускорения противонаправлена скорости

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Нормальное ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру по радиусу траектории, по которой движется тело (см. рис. 4).

Рис. 4. Направление нормального ускорения

Величина нормального ускорения связана с радиусом траектории и со скоростью движения следующим соотношением:

При прямолинейном движении тело имеет только тангенциальное ускорение. Нормальное ускорение отсутствует, так как скорость тела по направлению остаётся неизменной (см. рис. 5).

Рис. 5. Прямолинейное движение

При криволинейном движении, как правило, тело имеет тангенциальную и нормальную составляющую ускорения (см. рис. 6).

Рис. 6. Криволинейное движение

Пример нахождения тангенциальной и нормальной составляющей ускорения

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту (см. рис. 7). Найдём составляющие ускорения в тот момент, когда скорость тела направлена под углом к горизонту.

Рис. 7. Траектория движения тела

Касательная к траектории в точке A – это направление скорости

Рис. 8. Проекции ускорения

На рисунке видно, что тангенциальная составляющая ускорения направлена против скорости, то есть скорость тела в данный момент уменьшается (см. рис. 8). Нормальная составляющая ускорения направлена перпендикулярно скорости, следовательно, скорость в следующий момент наклонится в сторону .

Величины составляющих ускорения находим геометрически.

Рис. 9. Геометрическое определение величины составляющих ускорения

Угол A в треугольнике разложения на составляющие (треугольник выделен жёлтым на рисунке) имеет взаимно перпендикулярные стороны с углом Следовательно, тангенциальная составляющая равна: .

Нормальная составляющая ускорения равна: .

Задача 1

Обод радиусом 1 метр катится по горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с. Найти радиус траектории точки поверхности обода при прохождении наивысшего положения.

Дано: Найти: .

Решение

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

На рисунке изображён обод, который катится по горизонтальной поверхности со скоростью Скорость точки A относительно горизонтальной поверхности при движении обода без проскальзывания равна нулю. Это объясняется тем, что она движется вместе с ободом по горизонтали со скоростью Скорости точек в верхней части обода равны: . Эта скорость будет направлена по горизонтали в сторону движения обода.

С центром обода у всех точек, лежащих на её поверхности, связано нормальное ускорение, так как оно направлено перпендикулярно скорости движения точки по окружности в любой момент времени.

Ускорение остаётся неизменным для всех точек поверхности обода, так как при переходе к системе отсчёта, связанной с Землёй, центр обода движется равномерно: .

Тогда для точки

В этой задаче заданное значение начальной скорости было лишним. Избыточные данные часто включают в задания ЕГЭ по физике.

Ответ: .

Задача 2

После удара футбольный мяч за 2 с пролетел 40 м и упал на землю. Чему равен радиус траектории мяча в верхней точке траектории?

Дано: Найти: .

Решение

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

На рисунке изображена траектория полёта мяча (см. рис. 11). Точка A – верхняя точка траектории, скорость мяча в которой

Скорость в точке A – это горизонтальная составляющая скорости, которая в процессе всего движения остаётся неизменной. Поэтому скорость в точке A равна отношению всего пути, пройденного по горизонтали, ко времени: .

Следовательно, радиус траектории в верхней точке равен: .

Ответ: .

Нахождение закона изменения скорости от времени

Сведения об ускорении необходимы для того, чтобы найти закон изменения скорости от времени. Например, зависимость скорости от времени находится как неопределённый интеграл от ускорения по времени: , где C – постоянная интегрирования.

При равноускоренном движении При

  1. Вопросы в конце параграфа 13 (стр. 46); — Касьянов В.А. Физика. 10 кл. (см. список рекомендованной литературы) (Источник)
  2. Камень брошен со скоростью 20 м/c под углом Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

    В кинематике для однозначного определения характеристик движения тела в любой точке траектории необходимо знать его скорость и ускорение. Зависимость от времени этих величин предоставляет всю необходимую информацию для вычисления пройденного телом пути. Рассмотрим подробнее в статье, что такое ускорение тангенциальное и нормальное ускорение.

    В физике

    Прежде чем рассматривать для механического движения ускорение нормальное и тангенциальное ускорение, познакомимся с самим физическим понятием. Определение ускорения является достаточно простым. В физике под ним понимают характеристику изменения скорости. Последняя является векторной величиной, определяющей быстроту изменения координат движущегося объекта в пространстве. Скорость измеряется в метрах в секунду (расстояние, пройденное за единицу времени). Если ее обозначить символом v¯, тогда математическое определение ускорения a¯ будет выглядеть так:

    Это равенство определяет так называемое полное мгновенное ускорение. Мгновенным оно называется потому, что характеризует изменение скорости лишь в данный момент времени.

    Если движение является равноускоренным, то есть в течение длительного времени ускорение не меняет своего модуля и направления, тогда можно записать следующую формулу для его определения:

    Где Δt>>dt. Величина a¯ здесь называется средним ускорением, которое в общем случае отличается от мгновенного.

    Ускорение измеряется в системе СИ в метрах в квадратную секунду (м/с 2 ).

    Траектория движения и компоненты полного ускорения

    Чаще всего тела в природе движутся по кривым траекториям. Примерами такого перемещения являются: вращение по своим орбитам планет, параболическое падение камня на землю, поворот автомобиля. В случае криволинейной траектории в любой момент времени скорость направлена по касательной к рассматриваемой точке траектории. Как при этом направлено ускорение?

    Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, запишем скорость тела в следующей форме:

    Здесь ut¯ — вектор скорости единичный, индекс t означает, что он направлен по касательной к траектории (тангенциальная компонента). Символом v обозначен модуль скорости v¯.

    Теперь, следуя определению ускорения, можно провести дифференцирование скорости по времени, имеем:

    Таким образом, полное ускорение a¯ представляет собой векторную сумму двух компонент. Первое и второе слагаемое называются нормальным и тангенциальным ускорением точки. Подробнее рассмотрим каждую из этих компонент.

    Ускорение тангенциальное

    Запишем еще раз формулу для этой компоненты полного ускорения:

    Это выражение позволяет описать свойства величины at¯:

    • Она направлена точно так же, как и сама скорость или противоположно ей, то есть по касательной к траектории. Об этом свидетельствует элементарный вектор ut¯.
    • Она характеризует изменение скорости по абсолютной величине, что отражает множитель dv/dt.

    Эти свойства позволяют сделать важный вывод: для прямолинейного движения полное и тангенциальное ускорения — это одна и та же величина. В случае криволинейного перемещения полное ускорение всегда больше по модулю, чем тангенциальное. Когда рассматривают физические задачи на прямолинейное равноускоренное движение, то ведут речь именно об этой компоненте ускорения.

    Ускорение нормальное

    Рассматривая тему скорости, ускорения тангенциального и ускорения нормального, дадим характеристику последней величине. Запишем формулу для нее:

    Читайте также:  Как изменить время в приложениях

    Чтобы записать явно правую часть равенства, воспользуемся следующими соотношениями:

    Здесь dL — это пройденный телом путь за промежуток времени dt, r — радиус кривизны траектории. Первое выражение соответствует определению скорости, второе равенство следует из геометрических соображений. Пользуясь этими формулами, получаем конечное выражение для нормального ускорения:

    То есть величина an¯ не зависит от изменения скорости, как тангенциальная компонента, а определяется исключительно ее модулем. Нормальное ускорение вдоль нормали к данному участку траектории направлено, то есть к центру кривизны. Например, во время движения по окружности вектор an¯ направлен к ее центру, поэтому нормальное ускорение называют часто центростремительным.

    Если за изменение абсолютной величины скорости ответственно ускорение тангенциальное, то нормальная компонента ответственна за изменение вектора скорости, то есть она определяет траекторию перемещения тела.

    Ускорение полное, нормальное и тангенциальное

    Разобравшись с понятием ускорения и с его компонентами, приведем теперь формулу, которая позволяет определить полное ускорение. Поскольку рассмотренные компоненты направлены под углом 90 o друг к другу, то для определения абсолютной величины их векторной суммы можно использовать теорему Пифагора. Формула для полного ускорения имеет вид:

    Направление величины a¯ можно определить по отношению к вектору любой из компонент. Например, угол между a¯ и an¯ вычисляется так:

    Учитывая приведенную выше формулу для модуля a¯, можно сделать вывод: при равномерном движении по окружности полное ускорение совпадает с центростремительным.

    Решение задачи

    Пусть тело движется по окружности радиусом 1 метр. Известно, что его скорость изменяется по следующему закону:

    Необходимо определить ускорение тангенциальное и нормальное ускорение в момент t = 4 секунды.

    Для тангенциального имеем:

    Для того чтобы найти модуль ускорения нормального, сначала следует вычислить значение скорости в заданный момент времени. Имеем:

    Теперь можно воспользоваться формулой для an:

    Таким образом, мы определили все величины, которые требовалось найти для решения задачи.

    Элементы кинематики

    1.4. Нормальное и тангенциальное ускорения при криволинейном движении.

    1.5. Классификация движений материальной точки.

    1.6. Кинематика абсолютно твердого тела.

    1.7. Связь между линейными и угловыми характеристиками тела при его вращении.

    1.4. Нормальное и тангенциальное ускорения при криволинейном движении

    В общем случае при движении тела его скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения скорости движения вводится понятие ускорения.

    Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор задает скорость точки А в момент времени t. За время Dt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от u как по модулю, так и направлению и равную . Перенесем вектор в точку А и найдем (рис.). Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от t до t+Dt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени Dt:

    . (1.4.1)

    Ускорение в данный момент времени (мгновенное ускорение) представляет собой предел, к которому стремится выражение (1.4.1) при , т. е.

    . (1.4.2)

    Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

    Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А (рис. 1.4.1) по направлению скорости отложим вектор , по модулю равный . Очевидно, что вектор , равный , определяет изменение скорости по модулю за время Dt: . Вторая же составляющая вектора характеризует изменение скорости за время Dt no направлению.

    Тангенциальная составляющая ускорения

    , (1.4.3)

    т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

    Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В близка к точке А, поэтому Ds можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и ЕАD следует Dun/АВ=u1/r, но так как АВ=uDt, то Dun/Dt=uu1/r. В пределе при Dt®0, получим ®.

    Поскольку ®, угол ЕАD стремится к нулю, а так как треугольник ЕАD равнобедренный, то угол АDE между и стремится к прямому. Следовательно, при Dt®0 векторы и оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

    . (1.4.4)

    называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны. Поэтому эту составляющую ускорения называют также центростремительным ускорением.

    Читайте также:  Как поменять фон в autocad

    Таким образом, полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих

    , (1.4.5)

    Тангенциальное ускорение равно первой производной по времени от модуля скорости и определяет быстроту изменения скорости по модулю, и направлено по касательной к траектории.

    Нормальное ускорение определяет быстроту изменения скорости по направлению и направлено к центру кривизны траектории.

    Векторы и взаимно перпендикулярны поэтому модуль полного ускорения равен

    . (1.4.6)

    1.5. Классификация движений материальной точки

    В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

    1) at = 0, an = 0 − прямолинейное равномерное движение.

    2) at = const, an = 0 − прямолинейное равнопеременное движение.

    При таком движении . Проинтегрировав это выражение, получим:

    Þ Þ .

    Так как , то, проинтегрировав полученное выражение в пределах от нуля до произвольного момента времени можно найти перемещение точки:

    или .

    3) at = f(t), an = 0 − прямолинейное движение с переменным ускорением.

    4) at = 0, an = const. При таком движении скорость точки не изменяется по модулю, так как тангенциальная составляющая равна нулю, а изменяется только по направлению.

    5) at = const, an ¹ const − равнопеременное движение по окружности.

    6) at = 0, an ¹ 0 − равномерное криволинейное движение.

    7) at = const, an ¹ 0 − криволинейное равнопеременное движение.

    1.6. Кинематика абсолютно твердого тела

    Вращательное движение − это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. При вращательном движении скорости и ускорения различных точек тела неодинаковы. Поэтому в качестве общих кинематических характеристик движения тела при вращении вводятся угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение тела. При вращении тела угол поворота изменяется со временем по некоторому закону j = j(t), который называется уравнением вращательного движения тела.

    Угловой скоростью тела называется вектор, численно равный первой производной по времени от угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

    . (1.6.1)

    Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, причем так, чтобы вращение, рассматриваемое с конца вектора угловой скорости, происходило против хода часовой стрелки (рис 1.6.1). Единицей угловой скорости является рад/с.

    Скорость произвольной точки вращающегося тела назы-
    вается линейной скоростью этой точки.

    При равномерном враще-
    нии угловая скорость не изменя-
    ется со временем, то есть явля-
    ется постоянной величиной (w =
    = const). Тогда

    .

    Равномерное вращение характеризуется периодом вращения и частотой вращения.

    Период вращения − это время, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол j = 2p и на основании выражения (1.6.1) .

    Частота вращения − это число полных оборотов, которое делает точка при равномерном вращении, за единицу времени: , откуда w = 2pn.

    Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения.

    Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

    . (1.6.2)

    При ускоренном вращении вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости, а при замедленном − противоположен ему.

    В случае равнопеременного движения точки по окружности (e =
    = const) угловая скорость определяется по формуле

    Þ Þ Þ . (1.6.3)

    Или в скалярном виде

    . (1.6.4)

    Проинтегрировав выражение (1.6.1) можно получить формулу для угла поворота тела

    . (1.6.5)

    Исключив из последнего уравнения , получим

    , (1.6.6).

    где j = 2pN, N − число полное число оборотов, совершенных телом.

    В случае e = e(t), угловая скорость и закон вращательного движения определяются следующими формулами

    , . (1.6.7)

    Рис. 4

    1.7. Связь между линейными и угловыми характеристиками тела при его вращении

    За время dt точка проходит по дуге окружности радиуса R путь dS = Rdj. Поэтому . Если угол поворота враща-ющегося тела представить в виде dj = w(t)dt и проинтегрировать в пределах от начального момента времени t1 до конечного момента времени t2, то получится угол, на который совершила поворот тело за время: .

    Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения произвольной точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяются формулами:

    , . (1.7.1)

    Полученные соотношения (1.7.1) можно записать в векторном виде. Для этого на оси вращения ОО * (рис. 1.6.1) тела выберем любую точку A и проведем из нее радиус-вектор в точку M. Векторное произведение по модулю и направлению совпадает с вектором скорости точки M:

    , и . (1.7.2)

    Следовательно, можно записать, что вектор скорости , а вектор ускорения точки

    . (1.7.3)

    , . (1.7.4)

    Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 840 ; Нарушение авторских прав? ;

    Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector